Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {\frac{{z – 1 + 3i}}{{1 – i\sqrt 3 }}} \right| = 1\). Tính giá trị của biểu thức \(T = 3a – 2b\) khi biểu thức  \(P = 2\left| {z – i} \right| + \left| {z – 5 + 3i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu hỏi:

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {\frac{{z – 1 + 3i}}{{1 – i\sqrt 3 }}} \right| = 1\). Tính giá trị của biểu thức \(T = 3a – 2b\) khi biểu thức  \(P = 2\left| {z – i} \right| + \left| {z – 5 + 3i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(2\).

B. \(5\).

C. \( – 3\).

D. \( – 2\).

Lời giải

Gọi M là điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi \Rightarrow M\left( {a;b} \right)\).

Theo giả thiết  \(\left| {\frac{{z – 1 + 3i}}{{1 – \sqrt 3 i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {z – 1 + 3i} \right| = \left| {1 – \sqrt 3 i} \right| \Leftrightarrow {\left( {a – 1} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} = 4\)

Khi đó điểm \(M\) luôn thuộc đường tròn tâm \(I\left( {1; – 3} \right)\) và bán kính \(R = 2\).

Gọi \(A,\,B\) lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \({z_1} = i,\,{z_2} = 5 – 3i\) ta có \(A\left( {0;1} \right),\,\,B\left( {5; – 3} \right)\). Do đó \(P = 2\left| {z – i} \right| + \left| {z – 5 + 3i} \right| = 2MA + MB\)

Lấy điểm \(E\) thuộc đoạn thẳng \(IB\) sao cho \(IE = 1\).

Ta có \(IB = 4 \Rightarrow \overrightarrow {IB}  = 4\overrightarrow {IE}  \Rightarrow E\left( {2; – 3} \right)\).

                Mặt khác  \(I{M^2} = IE.IB\)\( \Rightarrow \frac{{IM}}{{IE}} = \frac{{IB}}{{IM}}\)  mà \(\widehat {MIE} = \widehat {BIM}\) 

  suy ra hai tam giác \(\Delta IME\) và \(\Delta IBM\) đồng dạng.

\( \Rightarrow \frac{{MB}}{{ME}} = \frac{{IB}}{{IM}} = 2 \Rightarrow MB = 2ME\)

\( \Rightarrow 2MA + MB = 2\left( {MA + ME} \right) \ge 2AE = 4\sqrt 5 \). 

Do đó \(P = 2MA + MB\) có giá trị nhỏ nhất là \(4\sqrt 5 \) khi \(M\) là giao điểm của đoạn thẳng \(EA\) và đường tròn tâm \(I\).

Đường thẳng \(EA\)nhận \(\overrightarrow {EA}  = \left( { – 2;4} \right)\) làm vecto chỉ phương nên có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2;1} \right)\). Mà \(EA\) đi qua điểm \(A\left( {0;1} \right)\) nên có phương trình là \(2x + y – 1 = 0\) .

Giả sử \(M\left( {t;1 – 2t} \right)\) thuộc đoạn \(EA\) (\(0 \le t \le 2\)). 

Mặt khác M thuộc đường tròn tâm I nên \(I{M^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {t – 1} \right)^2} + {\left( {4 – 2t} \right)^2} = 4\) 

 \( \Leftrightarrow 5{t^2} – 18t + 13 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \frac{{13}}{5}\end{array} \right.\) .

Kết hợp với điều kiện \(0 \le t \le 2\)  ta được \(t = 1 \Rightarrow M\left( {1; – 1} \right)\). 

Vậy\(a = 1;\,\,b =  – 1\)\( \Rightarrow T = 3a – 2b = 5\). 

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức