Cho mặt cầu \(\left( S \right):\;{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 5\).Tìm điểm \(M\)thuộc trục hoành có hoành độ dương. Sao cho từ \(M\)kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu mà tập hợp các tiếp điểm tạo thành đường tròn có chu vi bằng \(\frac{{4\sqrt 5 \pi }}{3}\).

Cho mặt cầu \(\left( S \right):\;{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 5\).Tìm điểm \(M\)thuộc trục hoành có hoành độ dương. Sao cho từ \(M\)kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu mà tập hợp các tiếp điểm tạo thành đường tròn có chu vi bằng \(\frac{{4\sqrt 5 \pi }}{3}\).

A. \(M\left( {3;\;0;\;0} \right)\)

B. \(M\left( {4;\;0;\;0} \right)\)

C. \(M\left( {2;\;0;\;0} \right)\)

D. \(M\left( {5;\;0;\;0} \right)\)

Lời giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;\;2;\;1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 5 \).

Giả sử điểm \(M\left( {a;\;0;\;0} \right)\) thuộc trục hoành với \(a > 0\) và \(A\) là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ \(M\) đến mặt cầu.

Gọi \(H\) là tâm đường tròn tạo bởi các tiếp điểm \( \Rightarrow r = AH = \frac{{\frac{{4\sqrt 5 \pi }}{3}}}{{2\pi }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}.\).

Tam giác \(MAI\) vuông tại \(A\)\( \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{I^2}}} \Rightarrow MA = 2 \Rightarrow IM = \sqrt {{R^2} + M{A^2}} = 3\).

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a – 1} \right)}^2} + 4 + 1} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 3\\a = – 1\end{array} \right.\)do \(a > 0\) suy ra \(a = 3{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}M\left( {3;\;0;\;0} \right)\).

===========

Câu 44 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG TỌA ĐỘ OXYZ VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024