Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy \(ABCD\) là hình thang cân. \(AB = 2a;\)\(BC = CD = DA = a\). Góc giữa mặt phẳng \((SBC)\) và đáy bằng \({45^0}\). Tính thể tích của khối chóp đã cho.
\(\frac{{3{a^3}}}{4}\).
B. \({a^3}\sqrt 2 \).
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).
D. \({a^3}\sqrt 3 \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Từ giả thiết, ta có hai đáy của hình thang cân là \(AB\) và \(CD\).
Gọi \(I\)là trung điểm của \(AB\). Ta có \(AICD\) là hình bình hành (\(AI = CD,AI//CD\)), mà \(AI = AD\) nên \(AICD\) là thoi \( \Rightarrow AC \bot ID\) và \(IC = AD = a\). Tương tự ta có \(IBCD\) là thoi và
\(ID = BC = a\)
Trong \(\left( {ABCD} \right)\), \(BC//ID\) và \(ID \bot AC\)\( \Rightarrow BC \bot AC\) mà \(BC \bot SA\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot SC\). Khi ấy góc giữa \((SBC)\) và đáy là \(\widehat {SCA} = {45^0}\).
\(\Delta SAC \bot \) cân tại \(A\) nên \(SA = AC\)\( = \sqrt {A{B^2} – B{C^2}} = a\sqrt 3 \).
\({S_{ABCD}} = {S_{\Delta IAD}} + {S_{\Delta ICD}} + {S_{\Delta IBC}}\)\( = 3{S_{\Delta IBC}} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)(các tam giác này là các tam giác đều cạnh \(a\)).
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}}\)\( = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{4}\).
Trả lời