Thể tích của khối chóp \(B’.ACC’A’\) bằng
A. \(\frac{{8{a^3}}}{3}\).
B. \(\frac{{{a^3}}}{2}\).
C. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
D. \(\frac{{{a^3}}}{6}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(M\) là trung điểm của \(A’C’\).
Vì tam giác \(A’B’C’\) là tam giác vuông cân tại \(B’\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B’M \bot A’C’\\B’M = a\sqrt 2 \end{array} \right.\).
Mà \(B’M \bot AA’ \Rightarrow B’M \bot \left( {ACC’A’} \right) \Rightarrow B’M \bot AC’\).
Trong \(\left( {ACC’A’} \right)\), kẻ \(MH \bot AC’\,\,\,\,\left( {H \in AC’} \right)\). Khi đó \(AC’ \bot \left( {B’MH} \right) \Rightarrow B’H \bot AC’\).
Nên \(\left( {\widehat {\left( {AB’C’} \right),\,\left( {ACC’A’} \right)}} \right) = \left( {\widehat {B’H,MH}} \right) = \widehat {B’HM} = 60^\circ \).
Xét \(\Delta B’MH\) vuông tại \(M\),ta có \(\tan \widehat {B’HM} = \frac{{B’M}}{{MH}} \Rightarrow MH = \frac{{B’M}}{{\tan 60^\circ }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Xét \(\Delta MHC’\) vuông tại \(H\), ta có \(C’H = \sqrt {M{{C’}^2} – M{H^2}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Ta lại có \(\Delta MHC’\) đồng dạng với \(\Delta AA’C’ \Rightarrow \frac{{MH}}{{AA’}} = \frac{{HC’}}{{A’C’}}\)
\( \Rightarrow AA’ = \frac{{MH.A’C’}}{{HC’}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{3}.2a\sqrt 2 }}{{\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}}} = 2a\).
Khi đó \({V_{ABC.A’B’C’}} = \frac{1}{2}2a.2a.2a = 4{a^3} \Rightarrow {V_{B’.ACC’A’}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A’B’C’}} = \frac{{8{a^3}}}{3}\).
=======
Trả lời