Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\). Mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc \(60^\circ \). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(AB\) và đi qua trọng tâm \(G\) của tam giác \(SAC\) cắt \(SC\), \(SD\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Thể tích khối chóp \(S.ABMN\) là
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
D. \({a^3}\sqrt 3 \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(H\) là trung điểm cạnh \(CD\) và \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\).
Ta có \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau
Khi đó, \(\left( {\widehat {\left( {SCD} \right),\,\left( {ABCD} \right)}} \right) = \widehat {SHO} = 60^\circ \)
Tam giác \(SHO\) vuông tại \(O\) có \(SO = OH.\tan 60^\circ = a\sqrt 3 \).
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SO = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN\\AB \subset \left( P \right),MN \subset \left( {SCD} \right)\,\\AB\,{\rm{//}}\,CD\end{array} \right. \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,CD\,{\rm{//}}\,AB\)
Mà \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAC\) nên \(G\) cũng là trọng tâm tam giác \(SBD\)\( \Rightarrow \frac{{SM}}{{SC}} = \frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{2}\).
Ta lại có \(\frac{{{V_{SABM}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SM}}{{SC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{SABM}} = \frac{1}{2}{V_{SABC}} = \frac{1}{4}{V_{SABCD}}\)
\(\frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SACD}}}} = \frac{{SM}}{{SC}}.\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{SAMN}} = \frac{1}{4}{V_{SACD}} = \frac{1}{8}{V_{SABCD}}\)
Khi đó \({V_{SABMN}} = {V_{S.ABM}} + {V_{S.AMN}} = \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{8}} \right){V_{SABCD}} = \frac{3}{8}{V_{SABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
Trả lời