Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích hình chóp biết \({\rm{cosin}}\) góc giữa đường thẳng \(SC\) và \(\left( {SBD} \right)\) bằng \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
\({a^3}\).
B. \(\frac{{{a^3}}}{3}\).
C. \({a^3}\sqrt 2 \).
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Dễ dàng chứng minh được \(BD \bot \left( {SAC} \right)\). Suy ra: \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\)
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\\SC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right.\) suy ra \(\left( {\widehat {SC,\left( {SBD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SO,SC}} \right) = \widehat {CSO}\)
\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), suy ra \(OC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Đặt \(SA = x\left( {x > 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SO = \sqrt {{x^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \\SC = \sqrt {{x^2} + 2{a^2}} \end{array} \right.\)
Xét tam giác \(SOC\) ta có: \(\cos \left( {\widehat {CSO}} \right) = \frac{{S{C^2} + S{O^2} – O{C^2}}}{{2SC.SC}} \Rightarrow \frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{{{x^2} + 2{a^2} + {x^2} + \frac{{{a^2}}}{2} – \frac{{{a^2}}}{2}}}{{2.\sqrt {\left( {{x^2} + 2{a^2}} \right)\left( {{x^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \right)} }}\).
Do \(x > 0\) nên \(SA = x = a\). Suy ra
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{3}\).
Trả lời