Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(AB = a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), cạnh bên \(SC\) tạo với \(\left( {ABCD} \right)\) một góc \(60^\circ \) và tạo với \(\left( {SAB} \right)\) một góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\). Thể tích của khối chóp \(SABCD\) bằng
\(\sqrt 3 {a^3}\).
B. \(\frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{4}\).
C. \(2{a^3}\).
D. \(\frac{{2{a^3}}}{3}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow AC\) là hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
\( \Rightarrow \left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA} = 60^\circ \).
Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)
\( \Rightarrow SB\) là hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
\( \Rightarrow \left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {SC,SB} \right) = \widehat {BSC} = \alpha \).
Xét tam giác \(SBC\) có \(\sin \alpha = \frac{{BC}}{{SC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\).
Đặt \(BC = x\), ta có \(SC = \frac{{4x}}{{\sqrt 3 }}\), \(AC = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \).
\(\cos 60^\circ = \frac{{AC}}{{SC}} \Rightarrow \frac{{2x}}{{\sqrt 3 }} = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 \Rightarrow AC = 2a \Rightarrow SA = AC\tan 60^\circ = 2a\sqrt 3 \)
Thể tích khối chóp \(SABCD\) bằng \(V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.2a\sqrt 3 .{a^2}\sqrt 3 = 2{a^3}\).
Trả lời