Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật \(AB = a\); \(BC = 2a\), \(SA\) vuông góc với đáy, góc giữa \(SB\)và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) bằng \(45^\circ \). Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\)bẳng
\(\frac{{2{a^3}}}{{15}}\).
B. \(\frac{{2\sqrt 5 {a^3}}}{{15}}\).
C. \(\frac{{2{a^3}}}{5}\).
D. \(\frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{{15}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Kẻ \(BK\) vuông góc với \(AC\) tại \(K\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BK \bot AC\\BK \bot SA\\AC \cap SA = A\\AC\,,\,SA \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BK \bot \left( {SAC} \right)\)
Do đó góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là góc \(\widehat {BSK} = 45^\circ \)
Suy ra \(SK = BK = \frac{{BC.AB}}{{AC}} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow SB = \sqrt {S{K^2} + K{B^2}} = \frac{{2a\sqrt {10} }}{5} \Rightarrow SA = \sqrt {S{B^2} – A{B^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {15} }}{5}.2{a^2} = \frac{{2\sqrt {15} {a^3}}}{{15}}\).
Trả lời