Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABC\)có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(a\), cạnh bên \(SA\)vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ \(A\)đến mặt phẳng \((SBC)\)bằng \(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
\(\frac{{3{a^3}}}{8}\).
B. \(\frac{{{a^3}}}{8}\).
C. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\).
D. \(\frac{{{a^3}}}{4}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Tam giác \(ABC\)đều suy ra \(AI \bot BC\).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \)\(BC \bot SA\)
Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow \left( {SAI} \right) \bot \left( {SBC} \right) = SI\). Trong mặt phẳng \(\left( {SAI} \right)\) kẻ \(AH \bot SI\).
Ta có: \(d\left( {A;\,(SBC)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\); \(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Trong tam giác vuông \({\rm{AS}}I\) có \(\frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} – \frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{{16}}{{6{a^2}}} – \frac{4}{{3{a^2}}} = > SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{8}\).
Trả lời