Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) vuông góc với nhau, \(SB = a\sqrt 3 {\rm{ }}\), góc \(\widehat {B{\rm{S}}C} = 45^\circ \) và góc \(\widehat {{\rm{ASB}}} = 30^\circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \(V\). Tỉ số \(\frac{{{a^3}}}{V}\) là:
\(\frac{8}{3}\)
B. \(\frac{{8\sqrt 3 }}{3}\)
C. \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
D. \(\frac{4}{3}\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
+ Ta có:
\(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\)
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right),\left( {ABC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\\\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta ABC,\Delta SBC\) là các tam giác vuông tại B
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại A có:
\(AB = SB.\sin \widehat {ASB} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},SA = SB.\cos \widehat {ASB} = \frac{{3a}}{2}\) xét \(\Delta SBC\) vuông tại B có:
\(BC = SB.\tan \widehat {B{\rm{S}}C} = a\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 3 = \frac{{3{{\rm{a}}^2}}}{4}\)
Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{3{{\rm{a}}^2}}}{4}.\frac{{3{\rm{a}}}}{2} = \frac{{3{{\rm{a}}^3}}}{8} \Rightarrow \frac{{{a^3}}}{V} = \frac{8}{3}\).
Trả lời