Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Các mặt bên\(\left( {SAB} \right)\), \(\left( {SAC} \right)\) lần lượt tạo với đáy các góc bằng \(60^\circ \) và \(30^\circ \). Biết hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng\(\left( {ABC} \right)\) nằm trên đoạn \(BC.\) Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\).
B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{32}}\).
C. \(\frac{{{a^3}}}{{32}}\).
D. \(\frac{{{a^3}}}{{16}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) lên \(\left( {ABC} \right)\), \(H\) thuộc đoạn \(BC\).
Gọi \(I\) và \(K\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) và \(AC\).
Ta có:
\(\widehat {SIH} = {60^0};\widehat {\,SKH} = {30^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \widehat {SIH} = \frac{{SH}}{{HI}} = \sqrt 3 \\\tan \widehat {SKH} = \frac{{SH}}{{HK}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HI = \frac{{SH}}{{\sqrt 3 }}\\HK = SH\sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow HI = \frac{{HK}}{3}\)
\(\left\{ \begin{array}{l}\sin \widehat {IBH} = \frac{{IH}}{{BH}}\\\sin \widehat {HCK} = \frac{{KH}}{{HC}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin 60^\circ = \frac{{IH}}{{BH}}\\\sin 60^\circ = \frac{{KH}}{{HC}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HC = 3HB\\BH = \frac{a}{4}\\IH = \frac{{a\sqrt 3 }}{8}\end{array} \right.\)
Suy ra \(SH = \sqrt 3 .HI = \frac{{3a}}{8}\)
Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{3a}}{8}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{32}}\).
Trả lời