Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = {x^4} – (m + 1){x^2} + 4m\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\). Tìm tham số \(m\) để \(\left( {{C_m}} \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\left( d \right):y = 3\) tại hai điểm phân biệt
A. \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 3\end{array} \right.\).
B. \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 16\end{array} \right.\).
C. \(\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 13\end{array} \right.\).
D. \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 13\end{array} \right.\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \(\left( {{C_m}} \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\left( d \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) khi hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x_0^4 – (m + 1)x_0^2 + 4m = 3\,\,\,\,(1)\\4x_0^3 – 2(m + 1){x_0} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\) có nghiệm \({x_0}\).
Từ phương trình \((2) \Leftrightarrow {x_0} = 0\) hoặc \(x_0^2 = \frac{{m + 1}}{2}\).
– Nếu \({x_0} = 0\) thay vào (1) ta được \(m = \frac{3}{4}\).
– Nếu \(x_0^2 = \frac{{m + 1}}{2}\) thay vào (1) ta được \({\left( {\frac{{m + 1}}{2}} \right)^2} – \frac{{{{(m + 1)}^2}}}{2} + 4m = 3\)
\( \Leftrightarrow {m^2} – 14m + 13 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 13\end{array} \right.\)
Thử lại:
– Khi \(m = \frac{3}{4}\) thì \(\left( {{C_m}} \right)\) tiếp xúc với \(\left( d \right)\) tại chỉ một điểm \(\left( {0;\,3} \right)\) nên \(m = \frac{3}{4}\) không thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
– Khi \(m = 1\) thì \(x_0^2 = {\rm{1}} \Leftrightarrow {x_0} = \pm 1\), suy ra \(\left( {{C_m}} \right)\) tiếp xúc với \(\left( d \right)\) tại hai điểm \(\left( {1;\,3} \right);\,\left( { – 1;\,3} \right)\)
– Khi \(m = 13\) thì \(x_0^2 = {\rm{7}} \Leftrightarrow {x_0} = \pm \sqrt 7 \), suy ra \(\left( {{C_m}} \right)\) tiếp xúc với \(\left( d \right)\) tại hai điểm \(\left( {\sqrt 7 ;\,3} \right),\,\,\left( { – \sqrt 7 ;\,3} \right)\)
Vậy các giá trị \(m\) cần tìm là \(m = 1;\,m = 13\).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Trả lời