Cho hàm số \(y = – {x^3} + m{x^2} – x – 4m\) có đồ thị \(({C_m})\) và \(A\) là điểm cố định có hoành độ âm của \(({C_m})\). Giá trị của \(m\) để tiếp tuyến tại \(A\) của \(({C_m})\) vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất là

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = – {x^3} + m{x^2} – x – 4m\) có đồ thị \(({C_m})\) và \(A\) là điểm cố định có hoành độ âm của \(({C_m})\). Giá trị của \(m\) để tiếp tuyến tại \(A\) của \(({C_m})\) vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất là

A. \(m = – 6\).

B. \(m = 2\).

C. \(m = – 3\).

D. \(m = \frac{{ – 7}}{2}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(A\left( {{x_0}\,;\,{y_0}} \right)\) với \({x_0} < 0\) là điểm cố định cần tìm.

\( \Rightarrow {y_0} = – x_0^3 + mx_0^2 – {x_0} – 4m,\forall m\)

\( \Leftrightarrow (x_0^2 – 4)m – x_0^3 – {x_0} – {y_0} = 0,\forall m\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_0^2 – 4 = 0\\ – x_0^3 – {x_0} – {y_0} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = – 2\,\,\left( {{\rm{v\`i }}\,{x_0} < 0} \right)\\{y_0} = 10\end{array} \right. \Rightarrow A( – 2\,;\,10)\).

Ta có \(y’ = – 3{x^2} + 2mx – 1 \Rightarrow y'( – 2) = – 4m – 13\).

Phương trình tiếp tuyến của \(({C_m})\) tại \(A( – 2\,;\,10)\) là \(y = ( – 4m – 13)(x + 2) + 10\) hay \(y = ( – 4m – 13)x – 8m – 16\,\,(\Delta )\).

Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình \(d:y = x\).

Vì \(\Delta \bot d \Leftrightarrow – 4m – 13 = – 1 \Leftrightarrow m = – 3\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số