Cho hàm số \(y = \left( { – {x^2} – 2x – 2} \right){e^{ – x}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị \(\left( C \right)\) cắt các trục \(Ox\), \(Oy\) lần lượt tại \(A\), \(B\) (với \(A\), \(B\) khác \(O\)) sao cho \(\cos \widehat {ABO} = \frac{5}{{\sqrt {26} }}\).

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = \left( { – {x^2} – 2x – 2} \right){e^{ – x}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị \(\left( C \right)\) cắt các trục \(Ox\), \(Oy\) lần lượt tại \(A\), \(B\) (với \(A\), \(B\) khác \(O\)) sao cho \(\cos \widehat {ABO} = \frac{5}{{\sqrt {26} }}\).

A. \(0\).

B. \(1\).

C. \(2\).

D. \(3\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Từ \(\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\widehat {ABO}}} = 1 + {\tan ^2}\widehat {ABO}\)⇒\({\tan ^2}\widehat {ABO} = \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\widehat {ABO}}} – 1 = \frac{{26}}{{25}} – 1 = \frac{1}{{25}}\).

⇒\(\tan \widehat {ABO} = \frac{1}{5}\) hay \(\tan \widehat {OAB} = 5\) (do \(\widehat {OAB} + \widehat {ABO} = 90^\circ \)).

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là \(k = \pm \tan \widehat {OAB} = \pm 5\).

Ta có \(y’ = {x^2}{e^{ – x}} \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình \(y’ = 5\)⇔\({x^2}{e^{ – x}} = 5\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^2}{e^{ – x}}\).

Ta có \(g'(x) = \left( {2x – {x^2}} \right){e^{ – x}}\); \(g’\left( x \right) = 0\)⇔\(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } g\left( x \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = 0\).

Bảng biến thiên:

Nhận thấy \(4.{e^{ – 2}} < 5\) nên suy ra phương trình \({x^2}{e^{ – x}} = 5\) có một nghiệm duy nhất.

Vậy có duy nhất một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số