Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^4} – {x^3} – {m^2}{x^2} + {m^2}x}}{{{x^2} + 1}}\). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành?
A. \(2\).
B. \(0\).
C. \(4\).
D. \(3\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^4} – {x^3} – {m^2}{x^2} + {m^2}x}}{{{x^2} + 1}} = 0\\\frac{{\left( {4{x^3} – 3{x^2} – 2{m^2}x + {m^2}} \right).\left( {{x^2} + 1} \right) – \left( {{x^4} – {x^3} – {m^2}{x^2} + {m^2}x} \right).2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0\end{array} \right.\left( I \right)\).
Ta có \(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^4} – {x^3} – {m^2}{x^2} + {m^2}x}}{{{x^2} + 1}} = 0\\\frac{{\left( {4{x^3} – 3{x^2} – 2{m^2}x + {m^2}} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} – \frac{{\left( {{x^4} – {x^3} – {m^2}{x^2} + {m^2}x} \right).2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^4} – {x^3} – {m^2}{x^2} + {m^2}x = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\4{x^3} – 3{x^2} – 2{m^2}x + {m^2} = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x\left( {{x^2} – {m^2}} \right)\left( {x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0;1; \pm m} \right\}\)
Khi \(x = 0\) thay vào \(\left( 2 \right)\) suy ra \(m = 0\).
Khi \(x = 1\) thay vào \(\left( 2 \right)\) suy ra \({m^2} = 1 \Rightarrow m = \pm 1\).
Khi \(x = m\) thay vào \(\left( 2 \right)\) suy ra \(2{m^3} – 2{m^2} = 0 \Rightarrow m = 1,m = 0\).
Khi \(x = – m\) thay vào \(\left( 2 \right)\) suy ra \( – 2{m^3} – 2{m^2} = 0 \Rightarrow m = – 1,m = 0\).
Vậy có ba giá trị của \(m\). Chọn đáp án D
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Trả lời