Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x – 1}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Tìm \(a\) để từ điểm \(A\left( {0\,;\,a} \right)\) có thể kẻ đến \(\left( C \right)\) hai tiếp tuyến sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục hoành.
A. \(\left\{ \begin{array}{l}a > – 2\\a \ne 1\end{array} \right.\).
B. \(\left[ \begin{array}{l}a > – \frac{2}{3}\\a \ne 1\end{array} \right.\).
C. \(\left\{ \begin{array}{l}a > – \frac{2}{3}\\a \ne 1\end{array} \right.\).
D. \( – 2 < a < – \frac{2}{3}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Ta có \(y’ = \frac{{ – 3}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\).
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0}\,;\,\frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} – 1}}} \right)\) có phương trình:
\(y = – \frac{3}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} – 1}}\).
Tiếp tuyến đi qua \(A\left( {0\,;\,a} \right)\) nên \(\frac{{3{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}} + \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} – 1}} = a\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} \ne 1\\3{x_0} + \left( {{x_0} + 2} \right)\left( {{x_0} – 1} \right) = a{\left( {{x_0} – 1} \right)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} \ne 1\\\left( {a – 1} \right)x_0^2 – 2\left( {a + 2} \right){x_0} + a + 2 = 0\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\).
Để từ \(A\left( {0\,;\,a} \right)\) kẻ đến \(\left( C \right)\) hai tiếp tuyến thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(2\) nghiệm phân biệt khác \(1\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a – 1 \ne 0\\\Delta ‘ = {\left( {a + 2} \right)^2} – \left( {a – 1} \right)\left( {a + 2} \right) > 0\\\left( {a – 1} \right) – 2\left( {a + 2} \right) + a + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 1\\a > – 2\end{array} \right.\).\(\left( * \right)\)
Gọi \({x_1}\,;\,{x_2}\) là các nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\).
Khi đó tọa độ các tiếp điểm là \(E\left( {{x_1}\,;\,\frac{{{x_1} + 2}}{{{x_1} – 1}}} \right)\,;\,F\left( {{x_2}\,;\,\frac{{{x_2} + 2}}{{{x_2} – 1}}} \right)\).
Để các tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi \(\frac{{{x_1} + 2}}{{{x_1} – 1}}.\frac{{{x_2} + 2}}{{{x_2} – 1}} < 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4}}{{{x_1}{x_2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}} < 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\frac{{a + 2}}{{a – 1}} + 2\frac{{2\left( {a + 2} \right)}}{{a – 1}} + 4}}{{\frac{{a + 2}}{{a – 1}} – \frac{{2\left( {a + 2} \right)}}{{a – 1}} + 1}} < 0\,\)
\( \Leftrightarrow \,\frac{{9a + 6}}{{ – 3}} < 0\, \Leftrightarrow \,9a + 6 > 0\, \Leftrightarrow \,a > – \frac{2}{3}\).
Kết hợp với điều kiện \(\left( * \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a > – \frac{2}{3}\\a \ne 1\end{array} \right.\).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Trả lời