Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Gọi điểm \(I\) là giao của hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\). \(M\) là một điểm bất kì trên \(\left( C \right)\) và tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) cắt hai tiệm cận tại \(A,B\). Biết chu vi tam giác \(IAB\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(a + \sqrt b \) với \(a,\;b \in \mathbb{N}\). Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(a – b + 4 = 0\).
B. \(2a – b < 0\).
C. \({a^2} + {b^2} = 100\).
D. \({\log _a}b = 2\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \(y’ = \frac{{ – 1}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\). Giả sử \(M\left( {{x_0}\;;\;{y_0}} \right) \in \left( C \right),\left( {{x_0} \ne 1} \right)\) suy ra tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) có phương trình \(y = \frac{{ – 1}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} – 1}}{{{x_0} – 1}}\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x – 1}}{{x – 1}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{2x – 1}}{{x – 1}} = – \infty \) nên đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của \(\left( C \right)\).
Mà\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x – 1}}{{x – 1}} = 2\) nên đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của \(\left( C \right)\), suy ra \(I\left( {1\;;\;2} \right)\).
Điểm \(A\left( {1\;;\;\frac{{2{x_0}}}{{{x_0} – 1}}} \right)\) là giao điểm của tiệm cận đứng và tiếp tuyến, điểm \(B\left( {2{x_0} – 1\;;\;2} \right)\) là giao điểm của tiệm cận ngang và tiếp tuyến.
Ta có chu vi của tam giác \(IAB\) bằng \(IA + IB + AB\) \( = \frac{2}{{\left| {{x_0} – 1} \right|}} + 2\left| {{x_0} – 1} \right| + \sqrt {4{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2} + \frac{4}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}} \).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có \(IA + IB + AB \ge 2\sqrt 4 + \sqrt {4.2} = 4 + \sqrt 8 \).
Đẳng thức xảy ra khi \(\left| {{x_0} – 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 2\end{array} \right.\)
Vậy chu vi tam giác \(IAB\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(4 + \sqrt 8 \) khi \(M\left( {0\;;\;1} \right)\) hoặc \(M\left( {2\;;\;3} \right)\).
Suy ra \(a = 4,\;b = 8\) nên \(a – b + 4 = 0\).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Trả lời