Cho hàm số \(y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị là \((C)\). Gọi \(I\) là giao điểm 2 đường tiệm cận. Gọi \(M\left( {{x_0},{y_0}} \right)\), \({x_0} < – 3\) là một điểm trên \((C)\) sao cho tiếp tuyến với \((C)\) tại \(M\) cắt hai đường tiệm cận lần lượt tại \(A,B\) thỏa mãn \(A{I^2} + I{B^2} = 40\). Khi đó tích \({x_0}{y_0}\) bằng

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị là \((C)\). Gọi \(I\) là giao điểm 2 đường tiệm cận. Gọi \(M\left( {{x_0},{y_0}} \right)\), \({x_0} < – 3\) là một điểm trên \((C)\) sao cho tiếp tuyến với \((C)\) tại \(M\) cắt hai đường tiệm cận lần lượt tại \(A,B\) thỏa mãn \(A{I^2} + I{B^2} = 40\). Khi đó tích \({x_0}{y_0}\) bằng

A. \( – 1\).

B. \( – 12\).

C. \(7\).

D. \(12\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}} \Rightarrow y’ = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại \(M\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) là \(y = \frac{3}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} – 1}}{{{x_0} + 1}}\).

Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang \(y = 2\) là \(A\left( {2{x_0} + 1;2} \right)\), \(IA = 2\left| {{x_0} + 1} \right|\).

Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng \(x = – 1\) là \(B\left( { – 1;\frac{{2{x_0} – 4}}{{{x_0} + }}} \right)\), \(IB = \frac{6}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}\).

Theo bài ra \(A{I^2} + I{B^2} = 40\)\( \Leftrightarrow 4{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + \frac{{36}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} = 40 \Leftrightarrow 4{\left( {{x_0} + 1} \right)^4} – 40{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + 36 = 0\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = 9\\{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} + 1 = \pm 3\\{x_0} + 1 = \pm 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2;{x_0} = – 4\\{x_0} = 0;{x_0} = – 2\end{array} \right.\).

Do \({x_0} < – 3\) nên \({x_0} = – 4\) suy ra điểm \(M\left( { – 4;3} \right)\). Vậy \({x_0}{y_0} = – 12\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số