Cho hàm số \(y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}\) có đồ thị \((C)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\)biết tiếp tuyến này cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại các điểm \(A,\,\,B\) phân biệt thỏa mãn \(AB = \sqrt {82} .\,OB\).

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}\) có đồ thị \((C)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\)biết tiếp tuyến này cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại các điểm \(A,\,\,B\) phân biệt thỏa mãn \(AB = \sqrt {82} .\,OB\).

A. \(y = – \frac{1}{9}x + \frac{{13}}{9}\)và \(y = – \frac{1}{9}x + \frac{{25}}{9}\).

B. \(y = – \frac{1}{9}x + \frac{{25}}{9}\).

C. \(y = – \frac{1}{9}x + \frac{{13}}{9}\).

D. \(y = – \frac{1}{9}x + \frac{{17}}{9}\) và \(y = \frac{1}{9}x + \frac{{25}}{9}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(y’ = \frac{{ – 1}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\). Gọi \(M\left( {a;\,\,\frac{{2a – 1}}{{a – 1}}} \right),\left( {a \ne 1} \right)\) là tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\)là \(y = \frac{{ – 1}}{{{{\left( {a – 1} \right)}^2}}}(x – a) + \frac{{2a – 1}}{{a – 1}}\).

Tiếp tuyến cắt trục \(Ox\) tại \(A(2{a^2} – 2a + 1;0)\); cắt trục \(Oy\) tại \(B\left( {0;\,\,\frac{{2{a^2} – 2a + 1}}{{{{(a – 1)}^2}}}} \right)\).

Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O \Leftrightarrow O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\). Mặt khác \(AB = \sqrt {82} .\,OB\)

\( \Rightarrow O{A^2} + O{B^2} = 82.O{B^2} \Leftrightarrow OA = 9OB\,\,\,(1)\).

Từ \((1)\)ta có \(2{a^2} – 2a + 1 = 9.\frac{{2{a^2} – 2a + 1}}{{{{(a – 1)}^2}}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = – 2\\a = 4\end{array} \right.\)

Với \(a = – 2\) ta có phương trình tiếp tuyến là \(y = – \frac{1}{9}x + \frac{{13}}{9}\).

Với \(a = 4\) ta có phương trình tiếp tuyến là \(y = – \frac{1}{9}x + \frac{{25}}{9}.\)

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số