Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(y = f’\left( x \right) = (x – 5)({x^2} – 4),x \in R\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn \(\left[ { – 100;100} \right]\) để hàm số\(y = g(x) = f\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + m} \right)\) có ít nhất 3 điểm cực trị?
A. \(105\).
B. \(106\).
C. \(104\).
D. \(103\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có:
\(\begin{array}{l}f’\left( x \right) = \left( {x – 5} \right)\left( {{x^2} – 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 5;x = 2;x = – 2\\g'(x) = \frac{{\left( {{x^3} + 3x} \right)\left( {3{x^2} + 3} \right)}}{{\left| {{x^3} + 3x} \right|}}.f’\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + m} \right)\\ = \frac{{x\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {3{x^2} + 3} \right)}}{{\left| {{x^3} + 3x} \right|}}.f’\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + m} \right)\\g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + m} \right) = 0\end{array}\)
Do đạo hàm không xác định tại \(x = 0\) nên để hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + m} \right)\)có ít nhất 3 cực trị thì \(f'(\left| {{x^3} + 3x} \right| + m) = 0\)có ít nhất hai nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ khác 0.
\(f’\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{x^3} + 3x} \right| + m = 5 \Rightarrow \left| {{x^3} + 3x} \right| = 5 – m\\\left| {{x^3} + 3x} \right| + m = 2 \Rightarrow \left| {{x^3} + 3x} \right| = 2 – m\\\left| {{x^3} + 3x} \right| + m = – 2 \Rightarrow \left| {{x^3} + 3x} \right| = – 2 – m\end{array} \right.\)
Yêu cầu bài toán suy ra
\(\begin{array}{l}5 – m > 0 \Rightarrow m < 5,m \in Z,m \in \left[ { – 100;100} \right]\\ \Rightarrow m \in \left\{ { – 100; – 99;….4} \right\}\end{array}\)
Vậy có tất cả 105 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
=======
Để lại phản hồi