DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = f’\left( 0 \right) = 1\\f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right) + 3xy\left( {x + y} \right) – 1\end{array} \right.\), với \(x,y \in \mathbb{R}\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( {x – 1} \right)} {\rm{d}}x\).
A.\(\frac{1}{2}\).
B. \( – \frac{1}{4}\).
C. \(\frac{1}{4}\).
D. \(\frac{7}{4}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Lấy đạo hàm theo hàm số \(y\)
\(f’\left( {x + y} \right) = f’\left( y \right) + 3{x^2} + 6xy\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Cho \(y = 0 \Rightarrow f’\left( x \right) = f’\left( 0 \right) + 3{x^2}\)\( \Rightarrow \)\(f’\left( x \right) = 1 + 3{x^2}\)
\( \Rightarrow \)\(f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right)} dx = {x^3} + x + C\) mà \(f\left( 0 \right) = 1\)\( \Rightarrow C = 1\). Do đó \(f\left( x \right) = {x^3} + x + 1\).
Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( {x – 1} \right)} {\rm{d}}x = \)\(\int\limits_{ – 1}^0 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \)\(\int\limits_{ – 1}^0 {\left( {{x^3} + x + 1} \right)\,} {\rm{d}}x = \frac{1}{4}\).
Trả lời