Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2;1} \right\}\) thỏa mãn

\(f’\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x – 2}},f\left( { – 3} \right) – f\left( 3 \right) = 0,f\left( 0 \right) = \frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(f\left( { – 4} \right) + f\left( 1 \right) – f\left( 4 \right)\) bằng

DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2;1} \right\}\) thỏa mãn

\(f’\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x – 2}},f\left( { – 3} \right) – f\left( 3 \right) = 0,f\left( 0 \right) = \frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(f\left( { – 4} \right) + f\left( 1 \right) – f\left( 4 \right)\) bằng

A.\(\frac{1}{3}\ln 20 + \frac{1}{3}\).

B. \(\frac{1}{3}\ln 2 + \frac{1}{3}\).

C. \(\ln 80 + 1\).

D. \(\frac{1}{3}\ln \frac{8}{5} + 1\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \(f’\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x – 2}} = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{x – 1}} – \frac{1}{{x + 2}}} \right)\)

\(f\left( x \right) = \frac{1}{3}\int {\left( {\frac{1}{{x – 1}} – \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx = } \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x – 1}}{{x + 2}}} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{3}\left[ {\ln \left( {1 – x} \right) – \ln \left( { – x – 2} \right)} \right] + {C_1};\,\,\,x \in \left( { – \infty ; – 2} \right)\\\frac{1}{3}\left[ {\ln \left( {1 – x} \right) – \ln \left( {x + 2} \right)} \right] + {C_2};\,\,\,x \in \left( { – 2;1} \right)\\\frac{1}{3}\left[ {\ln \left( {x – 1} \right) – \ln \left( {x + 2} \right)} \right] + {C_3};\,\,\,x \in \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right.\)

Với \(f\left( 0 \right) = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{3}\left[ {\ln \left( {1 – 0} \right) – \ln \left( {0 + 2} \right)} \right] + {C_2} = \frac{1}{3} \Rightarrow {C_2} = \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{1}{3}\)

Với \(f\left( { – 3} \right) – f\left( 3 \right) = 0 \Rightarrow {C_1} – {C_3} = \frac{1}{3}\ln \frac{1}{{10}}\)

Nên \(f\left( { – 4} \right) + f\left( 1 \right) – f\left( 4 \right) = \frac{1}{3}\ln \frac{5}{2} + \frac{1}{3}\ln 2 – \frac{1}{3}\ln \frac{1}{2} + {C_2} + {C_1} – {C_3} = \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{1}{3}\).