Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^4} + 2{x^2} – 1\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x < 1\\3 – {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 1\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_1^{{e^4}} {f\left( {\sqrt {4 – \ln x} } \right)} \frac{1}{x}{\rm{d}}x\).

DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^4} + 2{x^2} – 1\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x < 1\\3 – {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 1\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_1^{{e^4}} {f\left( {\sqrt {4 – \ln x} } \right)} \frac{1}{x}{\rm{d}}x\).

A.\(\frac{{16}}{3}\).

B. \(17\).

C. \(\frac{{11}}{6}\).

D. \(\frac{6}{{11}}\).

GY::

Xét \(I = \int\limits_1^{{e^4}} {f\left( {\sqrt {4 – \ln x} } \right)\frac{1}{x}{\rm{d}}x} \)

Đặt \(\sqrt {4 – \ln x}  = t \Rightarrow 4 – \ln x = {t^2} \Rightarrow \frac{1}{x}{\rm{d}}x =  – 2t{\rm{d}}t\)

Với \(x = 1\)\( \Rightarrow \)\(t = 2\)

\(x = {e^4}\)\( \Rightarrow \)\(t = 0\)

\( \Rightarrow I = 2\int\limits_0^2 {t.f\left( t \right){\rm{d}}t}  = 2\int\limits_0^2 {x.f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2\int\limits_0^1 {x.f(x){\rm{d}}x}  + 2\int\limits_1^2 {x.f(x){\rm{d}}x} \)

\( = 2\int\limits_0^1 {x\left( {{x^4} + 2{x^2} – 1} \right){\rm{d}}x}  + 2\int\limits_1^2 {x\left( {3 – {x^2}} \right){\rm{d}}x}  = \frac{{11}}{6}.\)