Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2{x^3} – x – 5\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ge 2\\11 – x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 2\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{\frac{1}{e}}^e {f\left( {2 + \ln x} \right)} \frac{1}{x}{\rm{d}}x\).

DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2{x^3} – x – 5\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ge 2\\11 – x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 2\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{\frac{1}{e}}^e {f\left( {2 + \ln x} \right)} \frac{1}{x}{\rm{d}}x\).

A.\(\frac{{69}}{2}\).

B. \(12\).

C. \(\frac{{25}}{2}\).

D. \(30\).

GY::

Xét \(I = \int\limits_1^e {f\left( {2 + \ln x} \right)\frac{1}{x}{\rm{d}}x} \)

Đặt \(2 + \ln x = t\)\( \Rightarrow \)\(\frac{1}{x}{\rm{d}}x = {\rm{d}}t\)

Với \(x = \frac{1}{e}\)\( \Rightarrow \)\(t = 1\)

\(x = e\)\( \Rightarrow \)\(t = 3\)

\( \Rightarrow \)\(I = \int\limits_1^3 {f\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_2^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_1^2 {\left( {11 – x} \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_2^3 {\left( {2{x^3} – x – 5} \right){\rm{d}}x}  = \frac{{69}}{2}.\)