Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 3}\\{2x – 1}&{{\rm{ khi }}x < 3}\end{array}} \right.\). Khi đó \(I = \int\limits_0^2 {xf\left( {{x^2} + 1} \right)} dx\)bằng

DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 3}\\{2x – 1}&{{\rm{ khi }}x < 3}\end{array}} \right.\). Khi đó \(I = \int\limits_0^2 {xf\left( {{x^2} + 1} \right)} dx\)bằng

A.\(24\).

B. \(\frac{{73}}{3}\).

C. \(\frac{{74}}{3}\).

D. \(25\).

GY::

Đặt \(t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2}dt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 2 \Rightarrow t = 5\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow I = \frac{1}{2}\int\limits_1^5 {f\left( t \right)dt}  = \frac{1}{2}\int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} \)

Do \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 3}\\{2x – 1}&{{\rm{ khi }}x < 3}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_1^3 {\left( {2x – 1} \right)dx}  + \int\limits_3^5 {\left( {{x^2} + x + 1} \right)dx} } \right) = \frac{{73}}{3}\).