Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\)thỏa mãn \(f\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = x – \sqrt {{x^2} + 1} \) với \(\forall x \in \mathbb{R}\). Gọi \(\Delta \) là
tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = \frac{1}{2}\). Giả sử \(\Delta \) cắt \(Ox\) tại điểm \(A\)
và cắt \(Oy\) tại điểm \(B\). Khi đó diện tích của tam giác \(OAB\) bằng
A. \(1\).
B. \(2\).
C. \(4\).
D. \(8\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt \(t = x + \sqrt {{x^2} + 1} \) suy ra \(t > 0\) ( vì \(\sqrt {{x^2} + 1} > \left| x \right|\) với mọi \(x\) và \(\left| x \right| + x \ge 0\) với mọi \(x\)).
Ta có \(\left( {x – \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = – 1\) suy ra \(x – \sqrt {{x^2} + 1} = \frac{{ – 1}}{t}\).
Vậy \(f\left( t \right) = \frac{{ – 1}}{t}\) với \(t > 0\) hay \(f\left( x \right) = \frac{{ – 1}}{x}\) với \(x > 0\).
Có \(f’\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\)\( \Rightarrow \) \(f’\left( {\frac{1}{2}} \right) = 4\) suy ra tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ
\({x_0} = \frac{1}{2}\) là đường thẳng \(\Delta \) có phương trình: \(y = f’\left( {\frac{1}{2}} \right)\left( {x – \frac{1}{2}} \right) + f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 4x – 4\).
Khi đó \(\Delta \) cắt \(Ox\) tại điểm \(A\left( {1\;;\;0} \right)\) và cắt \(Oy\) tại điểm \(B\left( {0\;;\; – 4} \right)\) nên diện tích của \(\Delta OAB\) là
\({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}\left| 1 \right|.\left| { – 4} \right| = 2\).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Trả lời