Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) \) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2;2} \right\} \) thỏa mãn \(f’\left( x \right) = \frac{4}{{{x^2} – 4}} \), \(f\left( 0 \right) = 2 \) và \(f\left( { – 3} \right) + f\left( 3 \right) = 0 \). Tính giá trị biểu thức \(P = 2f\left( { – 1} \right) + f\left( 4 \right) \).
A. \(3 + \ln 2\).
B. \(4 + \ln 3\).
C. \(\ln 2 – 3\).
D. \(\ln 3 + 2\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT.
Ta có \(f\left( x \right) = \int {\frac{4}{{{x^2} – 4}}{\rm{d}}x} = \int {\left( {\frac{1}{{x – 2}} – \frac{1}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x} = \left\{ \begin{array}{l}\ln \frac{{x – 2}}{{x + 2}} + {C_1}\,\,\,khi\,\,x \in \left( { – \infty \,;\, – 2} \right) \cup \left( {2\,;\, + \infty } \right)\\\ln \frac{{2 – x}}{{x + 2}}\, + {C_2}\,\,\,\,khi\,\,x \in \left( { – 2\,;\,2} \right)\end{array} \right. \).
Theo giả thiết có \(f\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2 \)
và \(f\left( { – 3} \right) + f\left( 3 \right) = 0 \Rightarrow \ln 5 + {C_1} + \ln \frac{1}{5} + {C_1} = 0 \Leftrightarrow {C_1} = 0 \).
Suy ra \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\ln \frac{{x – 2}}{{x + 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \in \left( { – \infty \,;\, – 2} \right) \cup \left( {2\,;\, + \infty } \right)\\\ln \frac{{2 – x}}{{x + 2}}\, + 2\,\,\,\,khi\,\,x \in \left( { – 2;2} \right)\end{array} \right. \).
Vậy \(P = 2f\left( { – 1} \right) + f\left( 4 \right) = 2\left( {\ln 3 + 2} \right) + \ln \frac{1}{3} = \ln 3 + 4 \).
=======
Trả lời