Cho hàm số \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in R\), \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} f’\left( x \right)\) với mọi \(x \in R\)

Theo bài ra ta có: \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} f’\left( x \right)\) (*).

Do \(f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in R\) nên từ (*) ta có \(\frac{{f’\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\).

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: \(\int\limits_{}^{} {\frac{{f’\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx}  = \int\limits_{}^{} {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}dx} \)

\( \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( x \right)} \right|dx = 2\sqrt {x + 1}  + C \Leftrightarrow \ln f\left( x \right) = 2\sqrt {x + 1}  + C \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{2\sqrt {x + 1}  + C}}\)

Ta có \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 1 = {e^{2 + C}} \Leftrightarrow 2 + C = 0 \Leftrightarrow C =  – 2\).

Do đó \(f\left( x \right) = {e^{2\sqrt {x + 1}  – 2}} \Rightarrow f\left( 3 \right) = {e^2} \approx 7,4 > 6\).