Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^{2021}} + 2021x\). Gọi \({m_0}\)là số lớn nhất trong các số nguyên \(m\)thỏa mãn \(f\left( {m – 2020} \right) + f\left( {2021m – {5^8}} \right) \le 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^{2021}} + 2021x\). Gọi \({m_0}\)là số lớn nhất trong các số nguyên \(m\)thỏa mãn \(f\left( {m – 2020} \right) + f\left( {2021m – {5^8}} \right) \le 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \({m_0} \in \left[ {180;\,191} \right]\).

B. \({m_0} \in \left( {191;\,204} \right]\).

C. \({m_0} \in \left( {204;223} \right)\).

D. \({m_0} \in \left[ {223;234} \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tác giả: Đức Thẩm

Xét \(f\left( x \right) = {x^{2021}} + 2021x\). Ta chứng minh hàm \(f\left( x \right) = {x^{2021}} + 2021x\) là hàm lẻ và tăng trên \(\mathbb{R}\).

+ Ta có tập xác định \(D = \mathbb{R}\), \(\forall x \in D \Rightarrow – x \in D\).

\(f\left( { – x} \right) = {\left( { – x} \right)^{2021}} + 2021\left( { – x} \right) = – \left( {{x^{2021}} + 2021x} \right)\), do đó \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.

+ Ta có \(f’\left( x \right) = 2021.{x^{2020}} + 2021 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\), nên \(f\left( x \right)\) là hàm số tăng.

Yêu cầu bài toán \(f\left( {m – 2020} \right) + f\left( {2021m – {5^8}} \right) \le 0 \Leftrightarrow f\left( {2021m – {5^8}} \right) \le – f\left( {m – 2020} \right)\)

\( \Leftrightarrow f\left( {2021m – {5^8}} \right) \le f\left[ { – \left( {m – 2020} \right)} \right]\).

\( \Leftrightarrow 2021m – {5^8} \le – \left( {m – 2020} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2022m \le {5^8} + 2020\\ \Leftrightarrow m \le \frac{{{5^8} + 2020}}{{2022}}\end{array}\)

Do \({m_0}\)là số lớn nhất trong các số nguyên \(m\) nên \({m_0} = \left[ {\frac{{{5^8} + 2020}}{{2022}}} \right] = 194\).

=======