Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( {4 – \sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x} } \right) – 3 = 0\) là

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Số nghiệm của phương trình \(f\left( {4 – \sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x} } \right) – 3 = 0\) là

A. \(5\).

B. \(6\).

C. \(3\).

D. \(4\).

Lời giải

Chọn D

Cách 1: Phương pháp truyền thống

Điều kiện xác định \({x^3} – 6{x^2} + 9x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\)

Ta có \(f\left( {4 – \sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x} } \right) = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 – \sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x}  = {a_1} \in \left( { – \infty ;2} \right)\left( 1 \right)}\\{4 – \sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x}  = {a_2} \in \left( {2;4} \right)\left( 2 \right)}\\{4 – \sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x}  = {a_3} \in \left( {4; + \infty } \right)\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\)

Đặt \(t = 4 – \sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x} \) với \(x \ge 0\).

\(t’ =  – \frac{{3{x^2} – 12x + 9}}{{2\sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x} }}\)với \(x > 0\); \(t’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\).

Lập bảng biến thiên của \(t = 4 – \sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x} \)

Từ bảng biến thiên trên, suy ra

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(1\) nghiệm

Phương trình \(\left( 2 \right)\) có \(3\) nghiệm

Phương trình \(\left( 3 \right)\) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có \(4\) nghiệm phân biệt.

Cách 2: PP ghép trục

Đặt \(t = 4 – \sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x} \) với \(x \ge 0\).

\(t’ =  – \frac{{3{x^2} – 12x + 9}}{{2\sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x} }}\)với \(x > 0\); \(t’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\).

Lập bảng biến thiên của \(t = 4 – \sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x} \)

Ta có bảng sau

Dựa vào bảng, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.