PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP
Câu hỏi: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:Số nghiệm của phương trình \(f\left( {4 – \sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x} } \right) – 3 = 0\) là
A. \(5\).
B. \(6\).
C. \(3\).
D. \(4\).
Lời giải
Chọn D
Cách 1: Phương pháp truyền thống
Điều kiện xác định \({x^3} – 6{x^2} + 9x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\)
Ta có \(f\left( {4 – \sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x} } \right) = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 – \sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x} = {a_1} \in \left( { – \infty ;2} \right)\left( 1 \right)}\\{4 – \sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x} = {a_2} \in \left( {2;4} \right)\left( 2 \right)}\\{4 – \sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x} = {a_3} \in \left( {4; + \infty } \right)\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\)
Đặt \(t = 4 – \sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x} \) với \(x \ge 0\).
\(t’ = – \frac{{3{x^2} – 12x + 9}}{{2\sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x} }}\)với \(x > 0\); \(t’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\).
Lập bảng biến thiên của \(t = 4 – \sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x} \)
Từ bảng biến thiên trên, suy ra
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(1\) nghiệm
Phương trình \(\left( 2 \right)\) có \(3\) nghiệm
Phương trình \(\left( 3 \right)\) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có \(4\) nghiệm phân biệt.
Cách 2: PP ghép trục
Đặt \(t = 4 – \sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x} \) với \(x \ge 0\).
\(t’ = – \frac{{3{x^2} – 12x + 9}}{{2\sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x} }}\)với \(x > 0\); \(t’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\).
Lập bảng biến thiên của \(t = 4 – \sqrt {{x^3} – 6{x^2} + 9x} \)
Ta có bảng sau
Dựa vào bảng, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
=======
Phong viết
các bài toán rất hay, rất hữu ích