Cho hàm số bậc năm \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(y = f’\left( x \right)\) như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)\) là

Câu hỏi: Cho hàm số bậc năm \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(y = f’\left( x \right)\) như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)\) là

A. \(4\).

B. \(7\).

C. \(6\).

D. \(11\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(g’\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 6x} \right).f’\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)\).

\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} + 6x = 0\\f’\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) = 0\end{array} \right.\).

▪Phương trình \(3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 2\end{array} \right.\).

▪Phương trình \(f’\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} = a < 0\\{x^3} + 3{x^2} = 0\\{x^3} + 3{x^2} = 4\\{x^3} + 3{x^3} = b > 4\end{array} \right.\).

Ta thấy: \({x^3} + 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = – 3\)

Và \({x^3} + 3{x^2} = 4 \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1;x = – 2\).

Hàm số \(h\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2}\) có \(h’\left( x \right) = 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 2\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên của hàm \(h\left( x \right)\):

Dựa vào bảng biên thiên của hàm \(h\left( x \right)\), ta có

Phương trình \({x^3} + 3{x^2} = a < 0\) có duy nhất một nghiệm \({x_1} < – 3\).

Phương trình \({x^3} + 3{x^2} = c > 4\) có duy nhất một nghiệm \({x_2} > 1\).

Do đó, phương trình \(g’\left( x \right) = 0\) có bốn nghiệm đơn phân biệt và hai nghiệm bội ba nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) có sáu điểm cực trị.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Cực trị của hàm số