Cho hai số thực \(x,y\) thỏa mãn \(x > y > 0\) và \(2{\log _3}\left( {x – y} \right) + {x^3} – {y^3} = 3\left( {x – y} \right)\left( {xy + 3} \right) + 2\). Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \frac{{\left( {x – y – 2} \right)\left( {xy + 1} \right)}}{{2x – y – 6}}\) bằng

Câu hỏi:
Cho hai số thực \(x,y\) thỏa mãn \(x > y > 0\) và \(2{\log _3}\left( {x – y} \right) + {x^3} – {y^3} = 3\left( {x – y} \right)\left( {xy + 3} \right) + 2\). Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \frac{{\left( {x – y – 2} \right)\left( {xy + 1} \right)}}{{2x – y – 6}}\) bằng

A. \( – 5\). 

B. \(5\). 

C. \(\sqrt 2+ 3\) 

D. \(3\sqrt 2 \)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Vì \(x > y > 0 \Rightarrow x – y > 0\). Xét biểu thức \(2{\log _3}\left( {x – y} \right) + {x^3} – {y^3} = 3\left( {x – y} \right)\left( {xy + 3} \right) + 2 \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {x – y} \right) + {x^3} – {y^3} – 3{x^2}y + 3x{y^2} = 9\left( {x – y} \right) + 2\)

\( \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {x – y} \right) + {\left( {x – y} \right)^3} = 9\left( {x – y} \right) + 2\)\( \Leftrightarrow 3{\log _3}\left( {x – y} \right) + {\left( {x – y} \right)^3} = {\log _3}\left( {x – y} \right) + 9\left( {x – y} \right) + 2\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {x – y} \right)^3} + {\left( {x – y} \right)^3} = {\log _3}\left[ {9\left( {x – y} \right)} \right] + 9\left( {x – y} \right)\,\,\left( * \right)\) với \(x – y > 0\).

Xét hàm số \(y = f\left( t \right) = {\log _3}t + t \Rightarrow f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\).

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Nên phương trình \(\left( * \right)\)\( \Leftrightarrow {\left( {x – y} \right)^3} = 9\left( {x – y} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right) = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x – 3\\x > 3\end{array} \right.\).

Thay vào biểu thức \(T = \frac{{\left( {x – y – 2} \right)\left( {xy + 1} \right)}}{{2x – y – 6}}\) ta có

\(T = \frac{{\left( {x\left( {x – 3} \right) + 1} \right)}}{{x – 3}} = x + \frac{1}{{x – 3}} = x – 3 + \frac{1}{{x – 3}} + 3\mathop\ge \limits^{CauChy} 2 + 3 = 5\)

Vậy \({T_{\min }} = 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 3 = \frac{1}{{x – 3}}\\y = x – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right.\).

Chú ý : hs cũng có thể khảo sát hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{{x – 3}}\)trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\) để tìm GTNN như bình thường.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit