Cho hai số thực \(x,\;y\) thỏa mãn \(5 + {3^{{x^2} – 3y + 2}} = (5 + {9^{{x^2} – 3y}}){.8^{3y + 2 – {x^2}}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2x + 3y + 2021\).

Câu hỏi:
Cho hai số thực \(x,\;y\) thỏa mãn \(5 + {3^{{x^2} – 3y + 2}} = (5 + {9^{{x^2} – 3y}}){.8^{3y + 2 – {x^2}}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2x + 3y + 2021\).

A. \(2020\)  

B. \(2018\)  

C. \(2019\)  

D. \(2021\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Từ giả thiết ta có: \(\frac{{5 + {3^{{x^2} – 3y + 2}}}}{{{8^{{x^2} – 3y + 2}}}} = \frac{{5 + {3^{2{x^2} – 6y}}}}{{{8^{2{x^2} – 6y}}}} \Leftrightarrow 5.{\left( {\frac{1}{8}} \right)^{^{{x^2} – 3y + 2}}} + {\left( {\frac{3}{8}} \right)^{^{{x^2} – 3y + 2}}} = 5.{\left( {\frac{1}{8}} \right)^{^{2{x^2} – 6y}}} + {\left( {\frac{3}{8}} \right)^{^{2{x^2} – 6y}}}\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 5.{\left( {\frac{1}{8}} \right)^t} + {\left( {\frac{3}{8}} \right)^t}\); \(f’\left( t \right) = 5.{\left( {\frac{1}{8}} \right)^t}\ln \frac{1}{8} + {\left( {\frac{3}{8}} \right)^t}\ln \frac{3}{8} < 0,\forall t \in \mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). 

Suy ra \(f({x^2} – 3y + 2) = f(2{x^2} – 6y)\) \( \Leftrightarrow {x^2} – 3y + 2 = 2{x^2} – 6y \Leftrightarrow 3y = {x^2} – 2\).

Khi đó \(P = 2x + 3y + 2021 = {x^2} + 2x + 2019 = {(x + 1)^2} + 2018 \ge 2018\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(2018\) đạt được khi \(x =- 1,y =- \frac{1}{3}\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit