Cho hai số phức \(z,\,z’\) thỏa mãn \(\left| {z + 5} \right| = 5\) và \(\left| {z’ + 1 – 3i} \right| = \left| {z’ – 3 – 6i} \right|\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| {z – z’} \right|\).

Câu hỏi: Cho hai số phức \(z,\,z’\) thỏa mãn \(\left| {z + 5} \right| = 5\) và \(\left| {z’ + 1 – 3i} \right| = \left| {z’ – 3 – 6i} \right|\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| {z – z’} \right|\). A. \(\frac{5}{2}\).  B. \(\frac{5}{4}\).  C. \(\sqrt {10} \).  D. \(3\sqrt {10} \). LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \(z = x + yi\), \(N\left( {x’;y’} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \(z = x’ + y’i\). Ta có \(\left| {z + 5} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {x + 5 + yi} \right| = 5 \Leftrightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} + {y^2} = {5^2}\). Vậy \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right):\,{\left( {x + 5} \right)^2} + {y^2} = {5^2}\) \(\left| {z’ + 1 – 3i} \right| = \left| {z’ – 3 – 6i} \right|\)\( \Leftrightarrow \left| {\left( {x’ + 1} \right) + \left( {y’ – 3} \right)i} \right| = \left| {\left( {x’ – 3} \right) + \left( {y’ – 6} \right)i} \right|\) \( \Leftrightarrow {\left( {x’ + 1} \right)^2} + {\left( {y’ – 3} \right)^2} = {\left( {x’ – 3} \right)^2} + {\left( {y’ – 6} \right)^2} \Leftrightarrow 8x’ + 6y’ = 35\) Vậy \(N\) thuộc đường thẳng \(\Delta :8x + 6y = 35\) Dễ thấy đường thẳng \(\Delta \) không cắt \(\left( C \right)\) và \(\left| {z – z’} \right| = MN\) Áp dụng bất đẳng thức tam giác, cho bộ ba điểm \(\left( {I,M,N} \right)\) ta có. \(MN \ge \left| {IN – IM} \right| = \left| {IN – R} \right| \ge \left| {I{N_0} – R} \right|\)\( = \left| {d\left( {I,\Delta } \right) – R} \right| = \left| {\frac{{\left| {8.\left( { – 5} \right) + 6.0 – 5} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {6^2}} }} – 5} \right| = \frac{5}{2}\) Dấu bằng đạt tại \(M \equiv {M_0};\,N = {N_0}\). ======= Lý thuyết KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)). Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\) Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ. Độ dài của vectơ OM  là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\) Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)

Một số tính chất cần lưu ý của số phức

Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\) Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0). Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo. Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức. Ta có: ​\(\left| \right| = \left| z \right|\). \(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực. \(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.