Cho hai số phức \(z\),\(w\) thỏa \(\left| {z – 2 + i} \right| = \left| {w – 1 + 3i} \right| = 2.\) Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {3z – 2w} \right|\) bằng
A. \(10\) .
B. \(15\).
C. \(9\).
D. \(11\).
Lời giải
Gọi \(M\left( {a;\,b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(3z\).
Ta có \(\left| {z – 2 + i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {3z – 6 + 3i} \right| = 6\)\( \Leftrightarrow \left| {\left( {a – 6} \right) + \left( {b + 3} \right)i} \right| = 6 \Leftrightarrow {\left( {a – 6} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} = 36\).
Suy ra tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \({I_1}\left( {6;\, – 3} \right)\) bán kính \({R_1} = 6.\)
Gọi \(N\left( {c;\,d} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(2w\).
Ta có \(\left| {w – 1 + 3i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {2w – 2 + 6i} \right| = 4\)\( \Leftrightarrow \left| {\left( {c – 2} \right) + \left( {d + 6} \right)i} \right| = 4 \Leftrightarrow {\left( {c – 2} \right)^2} + {\left( {d + 6} \right)^2} = 16\).
Suy ra tập hợp điểm \(N\) là đường tròn tâm \({I_2}\left( {2;\, – 6} \right)\) bán kính \({R_2} = 4.\)
Ta có \(P = \left| {3z – 2w} \right| = \left| {a + bi – c – di} \right| = \left| {\left( {a – c} \right) + \left( {b – d} \right)i} \right| = \sqrt {{{\left( {a – c} \right)}^2} + {{\left( {b – d} \right)}^2}} = MN\)
Vì \(M \in \left( {{I_1};\,{R_1}} \right)\), \(N \in \left( {{I_2};\,{R_2}} \right)\) nên \(\max P = \max MN = {I_1}{I_2} + {R_1} + {R_2} = 5 + 6 + 4 = 15.\)
Đẳng thức xảy ra khi \(M,\,N\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \({I_1}{I_2}\) với các đường tròn \(\left( {{I_1};\,{R_1}} \right)\), \(\left( {{I_2};\,{R_2}} \right)\) và \({I_1};\,\,{I_2}\) nằm giữa \(M,\,N\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời