Câu hỏi:
Cho hai số phức \({z_1};\,\,{z_2}\)là nghiệm của phương trình \(\left| {z – 1 – 2i} \right| = \left| {\frac{1}{2}z – 2 – 4i} \right|\) và \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P = {\left| {i{z_1} + 1} \right|^2} – {\left| {i{z_2} + 1} \right|^2}\)
A. \(\sqrt 2 \).
B. \(4\).
C. \(1\).
D. \(2\).
Lời giải
+ Gọi số phức \(z = x + yi,\,\,{z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di,\,\,\,\,\left( {x,\,\,y\,\,a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in \mathbb{R}} \right)\).
+ Ta có \(\left| {z – 1 – 2i} \right| = \left| {\frac{1}{2}z – 2 – 4i} \right|\)\( \Leftrightarrow \left| {\left( {x – 1} \right) + \left( {y – 2} \right)i} \right| = \left| {\left( {\frac{1}{2}x – 2} \right) + \left( {\frac{1}{2}y – 4} \right)i} \right|\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{2}x – 2} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}y – 4} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 20\).
+ Theo giả thiết ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 20\\{c^2} + {d^2} = 20\end{array} \right.\).
+\(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {a – c} \right) + \left( {b – d} \right)i} \right| = 1\)\( \Leftrightarrow {\left( {a – c} \right)^2} + {\left( {b – d} \right)^2} = 1\).
+ \(P = {\left| {i{z_1} + 1} \right|^2} – {\left| {i{z_2} + 1} \right|^2}\)\( = {\left| {\left( {1 – b} \right) + ai} \right|^2} – {\left| {\left( {1 – d} \right) + ci} \right|^2}\)\( = {\left( {1 – b} \right)^2} + {a^2} – {\left( {1 – d} \right)^2} – {c^2}\)
\( = {a^2} + {b^2} – \left( {{c^2} + {d^2}} \right) – 2\left( {b – d} \right) = 20 – 20 – 2\left( {b – d} \right)\)\( = – 2\left( {b – d} \right) \le 2\left| {b – d} \right| = 2\sqrt {{{\left( {b – d} \right)}^2}} \)
\( = 2\sqrt {1 – {{\left( {a – c} \right)}^2}} \le 2\).
Dấu xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = c\\{a^2} + {b^2} = 20\\{c^2} + {d^2} = 20\\\left| {b – d} \right| = – \left( {b – d} \right)\\{\left( {a – c} \right)^2} + {\left( {b – d} \right)^2} = 1\,\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c\\b = – d = – \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Vậy \(\max P = 2\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời