Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + 3 – 3i} \right| = 2\sqrt 2 \) và \(\left| {{z_2} – m – \left( {m – 4} \right)i} \right| = \sqrt 2 ,m \in \mathbb{R}\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) bằng
A. \(2\sqrt 2 \).
B. \(\sqrt 2 \).
C. \(3\sqrt 2 \).
D. \(3\).
Lời giải
Đặt \({z_1} = {x_1} + {y_1}i\), \({z_2} = {x_2} + {y_2}i\), \({x_1},{y_1},{x_2},{y_2} \in \mathbb{R}\).
Gọi \(M,N\) lần lượt là điểm biểu diễn số phức \({z_1},{z_2}\).
Theo giả thiết ta có:
+) \(\left| {{z_1} + 3 – 3i} \right| = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x_1} + 3} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} – 3} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + 3} \right)^2} + {\left( {{y_1} – 3} \right)^2} = 8\)
\( \Rightarrow \)\(M\left( {{z_1}} \right)\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \(I\left( { – 3;3} \right)\) và bán kính \({R_1} = 2\sqrt 2 \).
+) \(\left| {{z_2} – m – \left( {m – 4} \right)i} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x_2} – m} \right)}^2} + {{\left[ {{y_2} – \left( {m – 4} \right)} \right]}^2}} = \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x_2} – m} \right)^2} + {\left[ {{y_2} – \left( {m – 4} \right)} \right]^2} = 2\)
\( \Rightarrow \)\(N\left( {{z_2}} \right)\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \(J\left( {m;m – 4} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt 2 \).
Đồng thời điểm \(J\) luôn thuộc một đường thẳng cố định \(d:x – y – 4 = 0\).
Mà: \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = OM + ON\)\( \Rightarrow {\left( {\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|} \right)_{\min }}\) khi và chỉ khi \({\left( {OM + ON} \right)_{\min }}\).
Ta lại có: \(\overrightarrow {OI} = \left( { – 3;3} \right)\), \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {OI} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Rightarrow OI \bot d\).
Dựa vào hình vẽ ta có: \({\left( {OM + ON} \right)_{\min }} = d\left( {I,d} \right) – \left( {{R_1} + {R_2}} \right) = \frac{{\left| { – 3 – 3 – 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} – \left( {2\sqrt 2 + \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 \).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời