Cho hai số phức \({z_1};\,{z_2}\) thoả mãn \(\left| {{z_1} – 1 – 3i} \right| = 1\) và \(\left| {{z_2} + 1 – i} \right| = \left| {{z_2} – 5 + i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_2} – 1 – i} \right| + \left| {{z_2} – {z_1}} \right|\) bằng
A. \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5} – 1\).
B. \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5} + 1\).
C. \(\frac{{2\sqrt {85} }}{5} + 1\).
D. \(\frac{{2\sqrt {85} }}{5} – 1\).
Lời giải
Gọi \(M\left( {x;\,y} \right);\,N\left( {x’;\,y’} \right)\) là hai điểm biểu diễn cho số phức \({z_1}\) và \({z_2}\)
Theo giả thiết \(\left| {{z_1} – 1 – 3i} \right| = 1\)\( \Leftrightarrow \left| {\left( {x – 1} \right) + \left( {y – 3} \right)i} \right| = 1\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 3} \right)}^2}} = 1\)\( \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 1\), suy ra \(M\)thuộc đường tròn tâm \(I\left( {1;\,3} \right)\), bán kính \(R = 1\).
+ Từ giả thiết \(\left| {{z_2} + 1 – i} \right| = \left| {{z_2} – 5 + i} \right|\)\( \Leftrightarrow \left| {\left( {x’ + 1} \right) + \left( {y’ – 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {x’ – 5} \right) + \left( {y’ + 1} \right)i} \right|\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x’ + 1} \right)}^2} + {{\left( {y’ – 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x’ – 5} \right)}^2} + {{\left( {y’ + 1} \right)}^2}} \)\( \Leftrightarrow {x’^2} + {y’^2} + 2x’ – 2y’ + 2 = {x’^2} + {y’^2} – 10x’ + 2y’ + 26\)\( \Leftrightarrow 12x’ – 4y’ – 24 = 0\)\( \Leftrightarrow 3x’ – y’ – 6 = 0\).
Vậy \(N\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right):3x – y – 6 = 0\).
Ta có \(P = \left| {{z_2} – 1 – i} \right| + \left| {{z_2} – {z_1}} \right|\)\( = \left| {\left( {x’ – 1} \right) + \left( {y’ – 1} \right)i} \right| + \left| {\left( {x’ – x} \right) + \left( {y’ – y} \right)i} \right|\)\( = \sqrt {{{\left( {x’ – 1} \right)}^2} + {{\left( {y’ – 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x’ – x} \right)}^2} + {{\left( {y’ – y} \right)}^2}} \)\( = EN + MN\), với \(E\left( {1;\,1} \right)\).
Vì \(E\) và đường tròn cùng phía với đường thẳng \(d\) nên gọi \(E’\) là điểm đối xứng với \(E\) qua đường thẳng \(d\), khi đó với mọi điểm \(N \in d\), ta có \(EN = NE’\).
Do đó \(P = EN + MN = NE’ + MN\)\( \ge E’M = IE’ – R\).
+ Giả sử \(E’\left( {a;\,b} \right)\) là điểm đối xứng của \(E\) qua \(d\)\( \Rightarrow \overrightarrow {EE’} = \left( {a – 1;\,b – 1} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {EE’} = k\overrightarrow {{n_d}} \\d\left( {E’;\,d} \right) = d\left( {E;\,d} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a – 1 = 3k\\b – 1 = – k\\\frac{{\left| {3a – b – 6} \right|}}{{\sqrt {10} }} = \frac{{\left| {3 – 1 – 6} \right|}}{{\sqrt {10} }}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 + 3k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\b = 1 – k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\left| {3a – b – 6} \right| = 4\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
Thay \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right)\) vào \(\left( 3 \right)\) ta được
\(\left| {3 + 9k – 1 + k – 6} \right| = 4\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = \frac{4}{5}\\k = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}E’\left( {\frac{{17}}{5};\,\frac{1}{5}} \right)\\E’\left( {1;\,1} \right) \equiv E\left( {1;\,1} \right)\end{array} \right.\)
Vậy \(E’\left( {\frac{{17}}{5};\,\frac{1}{5}} \right)\)\( \Rightarrow IE’ = \sqrt {{{\left( {\frac{{17}}{5} – 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{5} – 3} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt {85} }}{5}\)
Do đó \(P \ge \frac{{2\sqrt {85} }}{5} – 1\)\( \Rightarrow \)Giá trị nhỏ nhất của \(P\) bằng \(\frac{{2\sqrt {85} }}{5} – 1\) khi \(I,\,M,\,N,\,E’\) thẳng hàng.
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời