Cho hai số phức \({z_1},\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {z – 3 – 2i} \right| = \left| {\overline z – 1} \right|\), \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 2\sqrt 2 \). Số phức \(w\) thỏa mãn \(\left| {w – 2 – 4i} \right| = 1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_2} – 2 – 3i} \right| + \left| {{z_1} – w} \right|\) bằng
A. \(\sqrt {17} – 1\).
B. \(4\).
C. \(\sqrt {26} \).
D. \(\sqrt {10} \).
Lời giải
Đặt \(z = x + yi,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\).
+ Ta có \(\left| {z – 3 – 2i} \right| = \left| {\overline z – 1} \right| \Leftrightarrow {\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( { – y} \right)^2} \Leftrightarrow x + y – 3 = 0\).
Gọi \(M,\,N\) lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức \({z_1},\,{z_2}\). Suy ra \(M,\,N \in d:\,x + y – 3 = 0\).
Đường thẳng \(d\) có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;\,1} \right)\).
+ \(\left\{ \begin{array}{l}M,\,N \in d\\\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} \bot \overrightarrow n \\MN = 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} = \left( {k;\, – k} \right),\,k \ne 0\\MN = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {k^2} = 4 \Rightarrow k = \pm 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} = \left( {2; – 2} \right)\\\overrightarrow {MN} = \left( { – 2;\,2} \right)\end{array} \right.\).
+ Gọi \(Q\) là điểm biểu diễn của số phức \(w\). Ta có \(\left| {w – 2 – 4i} \right| = 1\), suy ra \(Q\) thuộc đường tròn tâm \(I\left( {2;\,4} \right)\) bán kính \(R = 1\).
+ TH1: \(\overrightarrow {MN} = \left( {2; – 2} \right) \Rightarrow {z_2} = {z_1} + 2 – 2i\)\( \Rightarrow P = \left| {{z_1} – 5i} \right| + \left| {{z_1} – w} \right| = MA + MQ\) với \(A\left( {0;5} \right)\).
\(A’\) là điểm đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(d\). Phương trình đường thẳng \(AA’:\,x – y + 5 = 0\).
\(H = AA’ \cap d \Rightarrow H\left( { – 1;\,4} \right) \Rightarrow A’\left( { – 2 & ;\,3} \right)\).
\(P = MA + MQ = MA’ + MQ \ge A'{Q_1} = A’I – R = \sqrt {17} – 1\), dấu “=” xảy ra khi \(A’,M,\,Q,\,I\) thẳng hàng, \(Q\) nằm giữa \(A’,\,I\).
+ TH2: \(\overrightarrow {MN} = \left( { – 2;2} \right) \Rightarrow {z_2} = {z_1} – 2 + 2i\)\( \Rightarrow P = \left| {{z_1} – 4 – i} \right| + \left| {{z_1} – w} \right| = MB + MQ\) với \(B\left( {4;1} \right)\).
\(B’\) là điểm đối xứng với \(B\) qua đường thẳng \(d\).
Phương trình đường thẳng \(BB’:\,x – y – 3 = 0\).
\(E = BB’ \cap d \Rightarrow E\left( {3;\,0} \right) \Rightarrow B’\left( {2 & ;\, – 1} \right)\).
\(P = MB + MQ \ge B'{Q_2} = B’I – R = 4\), dấu “=” xảy ra khi \(B’,M,\,Q,\,I\) thẳng hàng, \(Q\) nằm giữa \(B’,\,I\).
Vây giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) bằng \(\sqrt {17} – 1\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời