Câu hỏi:
Cho hai số phức \({z_1}\) và \({z_2}\) thỏa mãn \({z_1} + {z_2} = 3 + 4i\) và \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 2\), tìm giá trị lớn nhất của \(A = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).
A. \(2\sqrt {29} \).
B. \(\sqrt {29} \).
C. \(\sqrt {25} \).
D. \(\sqrt {28} \).
Lời giải
Gọi \({z_1} = a + bi,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\), \({z_2} = c + di,\,\,\left( {c,d \in \mathbb{R}} \right)\).
Theo giả thiết ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}a + c = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\b + d = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{\left( {a – c} \right)^2} + {\left( {b – d} \right)^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array} \right.\,\,\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + c} \right)^2} + {\left( {b + d} \right)^2} = 25\\{\left( {a – c} \right)^2} + {\left( {b – d} \right)^2} = 4\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = \frac{{29}}{2}\).
Ta có \(A = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \).
Áp dụng bất đẳng thức \({\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) ta có:
\({A^2} \le 2\left[ {\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{c^2} + {d^2}} \right)} \right] = 29 \Leftrightarrow A \le \sqrt {29} \).
Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) bằng \(\sqrt {29} \). Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a + c = 3\,\,\\b + d = 4\\{\left( {a – c} \right)^2} + {\left( {b – d} \right)^2} = 4\,\\{a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{23}}{{10}};\,\,b = \frac{7}{5}\\c = \frac{7}{{10}};\,\,d = \frac{{13}}{5}\end{array} \right.\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời