Cho hai số phức \({z_1}\) và \({z_2}\) thỏa \({\left| {{z_1} + \overline {{z_1}} } \right|^2} = 2\left| {{z_1} – \overline {{z_1}} } \right|\) và \(\left| {\overline {{z_2}} + 3} \right| = 1\). Khi đó \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\) có giá trị nhỏ nhất là \(\sqrt m – n\) \(\left( {m;n \in \mathbb{N}} \right)\). Giá trị \(m + n\) là
A. \(5\).
B. \(6\).
C. \(7\).
D. \(10\).
Lời giải
+) Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là biểu diễn số phức \({z_1} = x + yi\).
Theo đề: \({\left| {{z_1} + \overline {{z_1}} } \right|^2} = 2\left| {{z_1} – \overline {{z_1}} } \right| \Leftrightarrow {\left| {2x} \right|^2} = 2\left| {2yi} \right| \Leftrightarrow 4{x^2} = 4\left| y \right| \Leftrightarrow {x^2} = \left| y \right|\).
Quỹ tích các điểm \(M\) là hình \(\left( H \right)\) gồm 2 parabol \(y = {x^2}\,\,\,\left( {{P_1}} \right)\) và \(y = – {x^2}\,\,\,\left( {{P_2}} \right)\).
+) Gọi \(N\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \({z_2} = a + bi\).
Theo đề: \(\left| {\overline {{z_2}} + 3} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {a + 3 – bi} \right| = 1 \Leftrightarrow {\left( {a + 3} \right)^2} + {b^2} = 1\).
Quỹ tích các điểm \(N\) là đường tròn tâm \(I\left( { – 3;0} \right)\) và \(R = 1\).
.
Xét \(M\left( {x;{x^2}} \right) \in \left( H \right)\)hoặc \(M\left( {x; – {x^2}} \right) \in \left( H \right)\). Ta có: \(I{M^2} = {\left( {x + 3} \right)^2} + {x^4} = {x^4} + {x^2} + 6x + 9 = f\left( x \right)\).
Ta có: \(f’\left( x \right) = 4{x^3} + 2x + 6 = 2\left( {x + 1} \right)\left( {2{x^2} – 2x + 3} \right)\).
\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = – 1\).
Bảng biến thiên:
Suy ra: \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = f\left( { – 1} \right) = 5\).
Do đó: \(IM\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\sqrt 5 \) khi \(x = – 1\).
Nên \(MN\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\sqrt 5 – 1\).
Vậy \(m + n = 5 + 1 = 6\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời