Cho hai số phức \(z\), \(z’\) thỏa mãn \(\left| {z – 2 + 3i} \right| = 2\) và \(\left| {z’ – 2 + i} \right| = \left| {z’ + 2 – 5i} \right|\) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {z’ + 1 + 3i} \right| + \left| {z – z’} \right|\) bằng
A. \(5\sqrt 5 – 2\).
B. \(\sqrt {10} + 2\).
C. \(3\sqrt {10} – 2\).
D. \(\sqrt {85} – 2\).
Lời giải
Gọi \(z = x + yi\), \(\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) là số phức được biểu diễn bởi điểm \(M\left( {x;y} \right)\).
Từ \(\left| {z – 2 + 3i} \right| = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = {2^2}\).
Suy ra tập hợp điểm \(M\) là đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; – 3} \right)\) và bán kính \(R = 2\).
Gọi \(z’ = a + bi\), \(\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) là số phức được biểu diễn bởi điểm \(N\left( {a;b} \right)\).
Từ \(\left| {z’ – 2 + i} \right| = \left| {z’ + 2 – 5i} \right| \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a – 2} \right)}^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a + 2} \right)}^2} + {{\left( {b – 5} \right)}^2}} \)\( \Leftrightarrow 2a – 3b + 6 = 0\).
Suy ra tập hợp điểm \(N\) là đường thẳng \(\Delta :2x – 3y + 6 = 0\).
Gọi \(A\left( { – 1; – 3} \right)\), ta có \(P = \left| {z’ + 1 + 3i} \right| + \left| {z – z’} \right| = AN + MN\).
Vì \(\left( {2.( – 1) – 3.( – 3) + 6} \right)\left( {2.2 – 3.( – 3) + 6} \right) > 0\) nên \(A,I\) nằm cùng phía đối với \(\Delta \).
Mặt khác, \({\rm{d}}\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2.2 – 3.( – 3) + 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( – 3)}^2}} }} = \frac{{19}}{{\sqrt {13} }} > 2\) nên \(\left( C \right)\) và \(\Delta \) không cắt nhau.
Do đó, điểm \(A\) và đường tròn \(\left( C \right)\) nằm cùng phía đối với đường thẳng \(\Delta \).
Gọi \(A’\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(\Delta \), ta tìm được \(A’\left( { – 5;3} \right)\).
Gọi \(M’ = A’I \cap \left( C \right)\) với \(M’\) nằm giữa \(I,A’\) và \(N’ = IA’ \cap \Delta \).
Khi đó: \(P = AN + MN = A’N + MN \ge A’M \ge A’M’ = A’I – R = \sqrt {85} – 2\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(M \equiv M’\) và \(N \equiv N’\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) bằng \(\sqrt {85} – 2\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời