Cho hai hàm \(f\left( x \right)\) và\(g\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\left[ {1;4} \right]\), thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right) = 4}\\{g\left( x \right) =  – xf’\left( x \right)}\\{f\left( x \right) =  – xg’\left( x \right)}\end{array}} \right.\) với mọi

\(x \in \left[ {1;4} \right]\). Tính tích phân \(I = \int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \).

DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Cho hai hàm \(f\left( x \right)\) và\(g\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\left[ {1;4} \right]\), thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right) = 4}\\{g\left( x \right) =  – xf’\left( x \right)}\\{f\left( x \right) =  – xg’\left( x \right)}\end{array}} \right.\) với mọi

\(x \in \left[ {1;4} \right]\). Tính tích phân \(I = \int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \).

A.\(3\ln 2\).

B. \(4\ln 2\).

C. \(6\ln 2\).

D. \(8\ln 2\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Từ giả thiết ta có \(f\left( x \right) + g\left( x \right) =  – x.f’\left( x \right) – x.g’\left( x \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {f\left( x \right) + x.f’\left( x \right)} \right] + \left[ {g\left( x \right) + x.g’\left( x \right)} \right] = 0\)\( \Leftrightarrow {\left[ {x.f\left( x \right)} \right]^\prime } + {\left[ {x.g\left( x \right)} \right]^\prime } = 0\)

\( \Rightarrow x.f\left( x \right) + x.g\left( x \right) = C \Rightarrow f\left( x \right) + g\left( x \right) = \frac{C}{x}\)

Mà\(f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow C = 4 \Rightarrow I = \int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int\limits_1^4 {\frac{4}{x}} \,dx = 8\ln 2\).