DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hai hàm \(f\left( x \right)\) và\(g\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\left[ {1;4} \right]\), thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right) = 4}\\{g\left( x \right) = – xf’\left( x \right)}\\{f\left( x \right) = – xg’\left( x \right)}\end{array}} \right.\) với mọi
\(x \in \left[ {1;4} \right]\). Tính tích phân \(I = \int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \).
A.\(3\ln 2\).
B. \(4\ln 2\).
C. \(6\ln 2\).
D. \(8\ln 2\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Từ giả thiết ta có \(f\left( x \right) + g\left( x \right) = – x.f’\left( x \right) – x.g’\left( x \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ {f\left( x \right) + x.f’\left( x \right)} \right] + \left[ {g\left( x \right) + x.g’\left( x \right)} \right] = 0\)\( \Leftrightarrow {\left[ {x.f\left( x \right)} \right]^\prime } + {\left[ {x.g\left( x \right)} \right]^\prime } = 0\)
\( \Rightarrow x.f\left( x \right) + x.g\left( x \right) = C \Rightarrow f\left( x \right) + g\left( x \right) = \frac{C}{x}\)
Mà\(f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow C = 4 \Rightarrow I = \int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int\limits_1^4 {\frac{4}{x}} \,dx = 8\ln 2\).
Trả lời