DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho các số thực \(x,\,\,y,\,\,m\). Biết rằng có duy nhất một số phức \(z = x + yi\) thỏa mãn \(z.\overline z = 4\) và \(mx + 2y + 2m – 1 = 0\), hãy tìm giá trị của \(m\).
A.\(0\).
B. \(\frac{1}{2}\).
C. \( – \frac{9}{4}\).
D. \( – \frac{{15}}{4}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(M\) là điểm biểu diễn của \(z\).
Ta có \(z.\overline z = 4 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4.\) Suy ra \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(O\), bán kính \(R = 2\).
Mặt khác, \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta :\,mx + 2y + 2m – 1 = 0\)
Do đó, \(M = \Delta \cap \left( C \right)\).
Theo yêu cầu của bài toán thì \(M\) là duy nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\,\Delta \) tiếp xúc với \(\left( C \right)\).
Khi đó \(d\left( {O,(\Delta )} \right) = R\) \( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2m – 1} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 4} }} = 2 \Leftrightarrow \left| {2m – 1} \right| = 2\sqrt {{m^2} + 4} \)
\( \Leftrightarrow {\left( {2m – 1} \right)^2} = 4\left( {{m^2} + 4} \right)\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} – 4m + 1 = 4{m^2} + 16 \Leftrightarrow m = – \frac{{15}}{4}\).
Vậy \(m = – \frac{{15}}{4}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trả lời