Cho các số thực \(x,\,y\) thoả mãn \(\log \sqrt {{x^2} + 2024{y^2} + 2024} = \frac{{{x^4}}}{{4048\left( {{y^2} + 1} \right)}}\log \left( {{x^2} + 1} \right) + \log x\). Khi biểu thức \({x^4} + 2024y\) đạt giá tri nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(5x – 3y\) thuộc khoảng nào sau đây?
A. \(\left( {30;\,32} \right)\).
B. \(\left( {34;\,36} \right)\).
C. \(\left( {32;\,34} \right)\).
D. \(\left( {36;\,38} \right)\).
Lời giải:
Điều kiện xác định: \(x > 0\)
\(\begin{array}{l}\log \sqrt {{x^2} + 2024{y^2} + 2024} = \frac{{{x^4}}}{{4048\left( {{y^2} + 1} \right)}}\log \left( {{x^2} + 1} \right) + \log x\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\log \left( {{x^2} + 2024{y^2} + 2024} \right) = \frac{{{x^4}}}{{4048\left( {{y^2} + 1} \right)}}\log \left( {{x^2} + 1} \right) + \log x\\ \Leftrightarrow 2024\left( {{y^2} + 1} \right)\log \left( {{x^2} + 2024{y^2} + 2024} \right) = {x^4}\log \left( {{x^2} + 1} \right) + 4048\log x\end{array}\)
\( \Leftrightarrow 2024\left[ {\log \left( {{x^2} + 2024\left( {{y^2} + 1} \right)} \right) – \log {x^2}} \right] = \frac{{{x^4}}}{{{y^2} + 1}}\log \left( {{x^2} + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2024\left( {{y^2} + 1} \right)}}{{{x^2}}}\log \left( {1 + \frac{{2024\left( {{y^2} + 1} \right)}}{{{x^2}}}} \right) = {x^2}\log \left( {{x^2} + 1} \right)\) \(\left( 1 \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t.\log \left( {t + 1} \right)\) trên khoảng \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).
Ta có: \(y’ = \frac{1}{{\left( {t + 1} \right)\ln 10}} > 0,\,\forall t \in \left( {0;\, + \infty } \right)\).
Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow \frac{{2024\left( {{y^2} + 1} \right)}}{{{x^2}}} = {x^2} \Leftrightarrow {x^4} = 2024\left( {{y^2} + 1} \right)\).
Khi đó: \({x^4} + 2024y = 2024\left( {{y^2} + 1} \right) + 2024y = 2024\left( {{y^2} + y + 1} \right) \ge 1518\).
Dấu “=” xảy ra khi \(y = – \frac{1}{2} \Rightarrow x = \sqrt[4]{{2530}}\).
Khi đó: \(5x – 3y \approx 36,95\).
===========
Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024
Để lại phản hồi