Cho các số thực \(x\), \(y\) thỏa mãn \({5^{{x^2} + {y^2} – 2}}.{\log _2}\left( {x – y} \right) = \frac{1}{2}\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {1 – xy} \right)} \right].\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) – 3xy.\)

Câu hỏi:
Cho các số thực \(x\), \(y\) thỏa mãn \({5^{{x^2} + {y^2} – 2}}.{\log _2}\left( {x – y} \right) = \frac{1}{2}\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {1 – xy} \right)} \right].\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) – 3xy.\)

A. \(7.\) 

B. \(\frac{{13}}{2}.\) 

C. \(\frac{{17}}{2}.\) 

D. \(3.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x – y > 0\\1 – xy > 0\end{array} \right.\).

Ta có \({5^{{x^2} + {y^2} – 2}}.{\log _2}\left( {x – y} \right) = \frac{1}{2}\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {1 – xy} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow {5^{{x^2} + {y^2} – 2}}.{\log _2}{\left( {x – y} \right)^2} = {\log _2}\left( {2 – 2xy} \right)\)

\( \Leftrightarrow {5^{\left( {{x^2} – 2xy + {y^2}} \right) – \left( {2 – 2xy} \right)}}.{\log _2}{\left( {x – y} \right)^2} = {\log _2}\left( {2 – 2xy} \right)\)

\( \Leftrightarrow {5^{{{\left( {x – y} \right)}^2}}}.{\log _2}{\left( {x – y} \right)^2} = {5^{2 – 2xy}}.{\log _2}\left( {2 – 2xy} \right).\,\, && \left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {5^t}.{\log _2}t\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

\(f’\left( t \right) = {5^t}\ln 5.{\log _2}t + \frac{{{5^t}}}{{t.\ln 2}} > 0,\,\,\forall t > 0\).

Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Phương trình \(\left( * \right)\) có dạng:

\(f\left[ {{{\left( {x – y} \right)}^2}} \right] = f\left( {2 – 2xy} \right) \Leftrightarrow {\left( {x – y} \right)^2} = \left( {2 – 2xy} \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2\).

Khi đó \(M = 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) – 3xy = 2\left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} – 3xy} \right] – 3xy\) 

\( \Leftrightarrow 2M = 2\left( {x + y} \right)\left[ {2{{\left( {x + y} \right)}^2} – 3.2xy} \right] – 3.2xy\) 

\( = 2\left( {x + y} \right)\left[ {2{{\left( {x + y} \right)}^2} – 3{{\left( {x + y} \right)}^2} + 6} \right] – 3{\left( {x + y} \right)^2} + 6\) 

\( = 2\left( {x + y} \right)\left[ {6 – {{\left( {x + y} \right)}^2}} \right] – 3{\left( {x + y} \right)^2} + 6\).

Đặt \(a = x + y.\) Ta có \({x^2} + {y^2} \ge 2xy \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {x + y} \right)^2}\)

\( \Rightarrow 2.2 \ge {a^2} \Leftrightarrow 2 \ge a \ge- 2\).

Khi đó \(2M = 2a\left( {6 – {a^2}} \right) – 3{a^2} + 6 =- 2{a^3} – 3{a^2} + 12a + 6\)

Xét hàm số \(g\left( a \right) =- 2{a^3} – 3{a^2} + 12a + 6\) trên đoạn \(\left[ { – 2;2} \right]\), có \(g’\left( a \right) =- 6{a^2} – 6a + 12\).

\(g’\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1 \in \left[ { – 2;2} \right]\\a =- 2 \in \left[ { – 2;2} \right]\end{array} \right.;\,\,g\left( { – 2} \right) =- 14;\,\,g\left( 1 \right) = 13;\,\,g\left( 2 \right) = 2.\)

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} {\mkern 1mu} g\left( a \right) = g\left( 1 \right) = 13.\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(M\) là \(\frac{{13}}{2}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\{x^2} + {y^2} = 2\\x – y > 0\\1 – xy > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\\y = \frac{{1 – \sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit