Cho các số thực \(x\), \(y\) thỏa mãn \(0 \le x\), \(y \le 1\) và \({\log _2}\left( {\frac{{2x + y}}{{2 – 2xy}}} \right) + (2x + 1)(y + 1) – 3 = 0\).Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A\) với\(A = 2x + 3y + 1\)

Câu hỏi:
Cho các số thực \(x\), \(y\) thỏa mãn \(0 \le x\), \(y \le 1\) và \({\log _2}\left( {\frac{{2x + y}}{{2 – 2xy}}} \right) + (2x + 1)(y + 1) – 3 = 0\).Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A\) với\(A = 2x + 3y + 1\)

A. \(0\). 

B. \(1\). 

C. \(2\). 

D. \(3\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \({\log _2}\left( {\frac{{2x + y}}{{2 – 2xy}}} \right) + (2x + 1)(y + 1) – 3 = 0 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\frac{{2x + y}}{{2 – 2xy}}} \right) + 2xy + 2x + y – 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}(2x + y) + 2x + y = {\log _2}(2 – 2xy) + 2 – 2xy\)

Xét hàm số đặc trưng \(f(t) = {\log _2}t + t\) với \(t > 0\)

Ta có \({f^\prime }(t) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\), \(\forall t > 0\)

Hàm số \(f(t)\) đồng biến với \(t > 0\)

Có \(f(2x + y) = f(2 – 2xy) \Leftrightarrow 2x + y = 2 – 2xy \Leftrightarrow 2x(1 + y) = 2 – y \Leftrightarrow x = \frac{{2 – y}}{{2\left( {y + 1} \right)}}\)

Ta có \(A = 2x + 3y + 1 = \frac{{2 – y}}{{y + 1}} + 3y + 1 =- 3 + \frac{3}{{y + 1}} + 3\left( {y + 1} \right) \ge- 3 + 2\sqrt {\frac{3}{{y + 1}}3(y + 1)}= 3\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{3}{{y + 1}} = 3\left( {y + 1} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 0}\\{y =- 2}\end{array}} \right. \Rightarrow y = 0\),\(x = 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) bằng 3 đạt tại \(y = 0\),\(x = 1\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit