Cho các số phức \(z,\,w\) thỏa mãn \(\left| {w + i} \right| = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\) và \(\frac{{5w}}{{z – 4}} = 2 + i\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {z – 1 – 2i} \right| + \left| {z – 5 – 2i} \right|\) bằng

Câu hỏi: Cho các số phức \(z,\,w\) thỏa mãn \(\left| {w + i} \right| = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\) và \(\frac{{5w}}{{z – 4}} = 2 + i\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {z – 1 – 2i} \right| + \left| {z – 5 – 2i} \right|\) bằng A. \(2\sqrt {53} \).  B. \(\frac{{29}}{2}\).  C. \(3 + \sqrt {134} \).  D. \(\sqrt {52}  + \sqrt {55} \). LỜI GIẢI CHI TIẾT Từ giả thiết \(\frac{{5w}}{{z – 4}} = 2 + i\,\), ta có \(5w = \left( {2 + i} \right)\left( {z – 4} \right)\). Khi đó: \(\left| {w + i} \right| = \frac{{3\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow \left| {5w + 5i} \right| = 3\sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {\left( {2 + i} \right)\left( {z – 4} \right) + 5i} \right| = 3\sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {z – 3 + 2i} \right| = 3\). Suy ra điểm \(M\left( {x\,;\,y} \right)\) biểu diễn cho số phức \(z\)sẽ thuộc đường tròn \(\left( C \right)\,:\,\,{\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\). Ta có: \(\,P = MA + MB\), với \(A\left( {1\,;\,2} \right),\,B\left( {5\,;\,2} \right)\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), ta có \(H\left( {3\,;\,2} \right)\). Khi đó: \(P = MA + MB \le \sqrt {2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right)}  = \sqrt {4M{H^2} + A{B^2}} \). Mặt khác: \(MH \le KH\) với mọi điểm \(M \in \left( C \right)\),  nên \(P \le \sqrt {4K{H^2} + A{B^2}}  = \sqrt {4{{\left( {IH + R} \right)}^2} + A{B^2}}  = 2\sqrt {53} \). Vậy \({P_{\max }} = 2\sqrt {53} \) khi \(\left\{ \begin{array}{l}M \equiv K\\MA = MB\end{array} \right.\) hay \(z = 3 – 5i\) và \(w = \frac{3}{5} – \frac{{11}}{5}i\). ======= Lý thuyết KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)). Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\) Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ. Độ dài của vectơ OM  là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\) Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)

Một số tính chất cần lưu ý của số phức

Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\) Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0). Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo. Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức. Ta có: ​\(\left| \right| = \left| z \right|\). \(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực. \(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.