Cho các số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(w = \frac{{{z_1} – 2 + i}}{{{z_1} + \overline {{z_1}} + 1 – 2i}}\) là một số thực và \(\left| {{z_2} + \frac{{3i}}{2}} \right| = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\)
A. \(\frac{{2\sqrt 5 – \sqrt 2 – 2}}{2}\).
B. \(\frac{{2\sqrt 5 + \sqrt 2 – 2}}{2}\).
C. \(\frac{{2\sqrt 5 + \sqrt 2 – 1}}{2}\).
D. \(\frac{{2\sqrt 5 – \sqrt 2 – 1}}{2}\).
Lời giải
Gọi \({z_1} = x + yi,\,\left( {x,\,y \in \mathbb{R}} \right)\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {x;\,y} \right)\).
Khi đó \(w = \frac{{\left( {x – 2} \right) + \left( {y + 1} \right)i}}{{\left( {2x + 1} \right) – 2i}} = \frac{{\left[ {\left( {x – 2} \right) + \left( {y + 1} \right)i} \right]\left[ {\left( {2x + 1} \right) + 2i} \right]}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + 4}}\)
\( = \frac{{\left[ {\left( {x – 2} \right)\left( {2x + 1} \right) – 2\left( {y + 1} \right)} \right] + \left[ {\left( {y + 1} \right)\left( {2x + 1} \right) + 2\left( {x – 2} \right)} \right]i}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + 4}}\).
Theo giả thiết \(w\) là số thực nên ta có \(\left( {y + 1} \right)\left( {2x + 1} \right) + 2\left( {x – 2} \right)\mathop = \limits^{(*)} 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \ne – \frac{1}{2}} y = \frac{{ – 4x + 3}}{{2x + 1}}\).
Nhận xét: Trường hợp \(x = – \frac{1}{2}\) suy ra \((*)\) trở thành \( – 5 = 0\) .
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn \(M\) của số phức \({z_1}\) là một hypebol \(\left( H \right):y = \frac{{ – 4x + 3}}{{2x + 1}}\).
Gọi \(N\) là điểm biểu diễn số phức \({z_2}\), \(I\left( {0; – \frac{3}{2}} \right)\). Ta có \(\left| {{z_2} + \frac{{3i}}{2}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {{z_2} – \left( { – \frac{{3i}}{2}} \right)} \right| = 1 \Leftrightarrow NI = 1\).
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn \(N\) của số phức \({z_2}\) là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {0; – \frac{3}{2}} \right)\), bán kính \(R = 1\).
Ta có \(P = \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = MN\).
Gọi \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( H \right)\) tại điểm \(H\left( {{x_0};\frac{{ – 4{x_0} + 3}}{{2{x_0} + 1}}} \right),{x_0} \ne – \frac{1}{2}\) sao cho \(IH \bot d\).
Ta có phương trình của \(d:y = \frac{{ – 10}}{{{{\left( {2{x_0} + 1} \right)}^2}}}\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{ – 4{x_0} + 3}}{{2{x_0} + 1}}\)\( \Rightarrow d:10x + {\left( {2{x_0} + 1} \right)^2}y + 8x_0^2 – 12{x_0} – 3 = 0\).
Ta có \(\overrightarrow {IH} = \left( {{x_0};\frac{{ – 2{x_0} + 9}}{{2\left( {2{x_0} + 1} \right)}}} \right)\), \(\overrightarrow u = \left( {{{\left( {2{x_0} + 1} \right)}^2}; – 10} \right)\) là vectơ chỉ phương của \(d\).
Từ yêu cầu trên ta có \(\overrightarrow {IH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow {x_0}.{\left( {2{x_0} + 1} \right)^2} – 10.\frac{{ – 2{x_0} + 9}}{{2\left( {2{x_0} + 1} \right)}} = 0\)\( \Leftrightarrow 8x_0^4 + 12x_0^3 + 6x_0^2 + 11{x_0} – 45 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {4x_0^2 + 4{x_0} – 9} \right)\left( {2x_0^2 + {x_0} + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x_0^2 + 4{x_0} – 9 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = \frac{{ – 1 \pm \sqrt {10} }}{2}\).
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{H_1}\left( {\frac{{ – 1 + \sqrt {10} }}{2};\frac{{ – 4 + \sqrt {10} }}{2}} \right)\\{H_2}\left( {\frac{{ – 1 – \sqrt {10} }}{2};\frac{{ – 4 – \sqrt {10} }}{2}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {I{H_1}} = \left( {\frac{{ – 1 + \sqrt {10} }}{2};\frac{{ – 1 + \sqrt {10} }}{2}} \right)\\\overrightarrow {I{H_2}} = \left( {\frac{{ – 1 – \sqrt {10} }}{2};\frac{{ – 1 – \sqrt {10} }}{2}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I{H_1} = \frac{{ – 1 + \sqrt {10} }}{{\sqrt 2 }}\\I{H_2} = \frac{{1 + \sqrt {10} }}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\).
Mà \(I{H_1} < I{H_2}\)\( \Rightarrow M{N_{\min }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \equiv {H_1}\\N \equiv E\end{array} \right.\).
Khi đó \(\min P = E{H_1} = I{H_1} – IE = \frac{{ – 1 + \sqrt {10} }}{{\sqrt 2 }} – 1 = \frac{{ – 1 + \sqrt {10} – \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}\)\( = \frac{{2\sqrt 5 – \sqrt 2 – 2}}{2}\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời