• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Cho các số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(w = \frac{{{z_1} – 2 + i}}{{{z_1} + \overline {{z_1}}  + 1 – 2i}}\) là một số thực và \(\left| {{z_2} + \frac{{3i}}{2}} \right| = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\)  

Đăng ngày: 06/06/2022 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Cực trị Số phức Tag với:MAX - MIN SO PHUC, so phuc vdc, TN THPT 2022

adsense
Câu hỏi:

Cho các số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(w = \frac{{{z_1} – 2 + i}}{{{z_1} + \overline {{z_1}}  + 1 – 2i}}\) là một số thực và \(\left| {{z_2} + \frac{{3i}}{2}} \right| = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\)  

A. \(\frac{{2\sqrt 5  – \sqrt 2  – 2}}{2}\).

B. \(\frac{{2\sqrt 5  + \sqrt 2  – 2}}{2}\).

C. \(\frac{{2\sqrt 5  + \sqrt 2  – 1}}{2}\).

D. \(\frac{{2\sqrt 5  – \sqrt 2  – 1}}{2}\).

Lời giải

Gọi \({z_1} = x + yi,\,\left( {x,\,y \in \mathbb{R}} \right)\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {x;\,y} \right)\).

Khi đó \(w = \frac{{\left( {x – 2} \right) + \left( {y + 1} \right)i}}{{\left( {2x + 1} \right) – 2i}} = \frac{{\left[ {\left( {x – 2} \right) + \left( {y + 1} \right)i} \right]\left[ {\left( {2x + 1} \right) + 2i} \right]}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + 4}}\)

                 \( = \frac{{\left[ {\left( {x – 2} \right)\left( {2x + 1} \right) – 2\left( {y + 1} \right)} \right] + \left[ {\left( {y + 1} \right)\left( {2x + 1} \right) + 2\left( {x – 2} \right)} \right]i}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + 4}}\).

Theo giả thiết \(w\) là số thực nên ta có \(\left( {y + 1} \right)\left( {2x + 1} \right) + 2\left( {x – 2} \right)\mathop  = \limits^{(*)} 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x \ne  – \frac{1}{2}} y = \frac{{ – 4x + 3}}{{2x + 1}}\).

Nhận xét: Trường hợp \(x =  – \frac{1}{2}\) suy ra \((*)\) trở thành \( – 5 = 0\) .

adsense

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn \(M\) của số phức \({z_1}\) là một hypebol \(\left( H \right):y = \frac{{ – 4x + 3}}{{2x + 1}}\).

Gọi \(N\) là điểm biểu diễn số phức \({z_2}\), \(I\left( {0; – \frac{3}{2}} \right)\). Ta có \(\left| {{z_2} + \frac{{3i}}{2}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {{z_2} – \left( { – \frac{{3i}}{2}} \right)} \right| = 1 \Leftrightarrow NI = 1\).

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn \(N\) của số phức \({z_2}\) là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {0; – \frac{3}{2}} \right)\), bán kính \(R = 1\).

Ta có \(P = \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = MN\).

<p>Cho các số phức ({z_1},,,{z_2}) thỏa mãn (w = frac{{{z_1} - 2 + i}}{{{z_1} + overline {{z_1}}  + 1 - 2i}}) là một số thực và (left| {{z_2} + frac{{3i}}{2}} right| = 1). Tìm giá trị nhỏ nhất của (P = left| {{z_1} - {z_2}} right|)  </p> 1

Gọi \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( H \right)\) tại điểm \(H\left( {{x_0};\frac{{ – 4{x_0} + 3}}{{2{x_0} + 1}}} \right),{x_0} \ne  – \frac{1}{2}\) sao cho \(IH \bot d\).

Ta có phương trình của \(d:y = \frac{{ – 10}}{{{{\left( {2{x_0} + 1} \right)}^2}}}\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{ – 4{x_0} + 3}}{{2{x_0} + 1}}\)\( \Rightarrow d:10x + {\left( {2{x_0} + 1} \right)^2}y + 8x_0^2 – 12{x_0} – 3 = 0\).

Ta có \(\overrightarrow {IH}  = \left( {{x_0};\frac{{ – 2{x_0} + 9}}{{2\left( {2{x_0} + 1} \right)}}} \right)\), \(\overrightarrow u  = \left( {{{\left( {2{x_0} + 1} \right)}^2}; – 10} \right)\) là vectơ chỉ phương của \(d\).

Từ yêu cầu trên ta có \(\overrightarrow {IH} .\overrightarrow u  = 0 \Leftrightarrow {x_0}.{\left( {2{x_0} + 1} \right)^2} – 10.\frac{{ – 2{x_0} + 9}}{{2\left( {2{x_0} + 1} \right)}} = 0\)\( \Leftrightarrow 8x_0^4 + 12x_0^3 + 6x_0^2 + 11{x_0} – 45 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {4x_0^2 + 4{x_0} – 9} \right)\left( {2x_0^2 + {x_0} + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x_0^2 + 4{x_0} – 9 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = \frac{{ – 1 \pm \sqrt {10} }}{2}\).

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{H_1}\left( {\frac{{ – 1 + \sqrt {10} }}{2};\frac{{ – 4 + \sqrt {10} }}{2}} \right)\\{H_2}\left( {\frac{{ – 1 – \sqrt {10} }}{2};\frac{{ – 4 – \sqrt {10} }}{2}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {I{H_1}}  = \left( {\frac{{ – 1 + \sqrt {10} }}{2};\frac{{ – 1 + \sqrt {10} }}{2}} \right)\\\overrightarrow {I{H_2}}  = \left( {\frac{{ – 1 – \sqrt {10} }}{2};\frac{{ – 1 – \sqrt {10} }}{2}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I{H_1} = \frac{{ – 1 + \sqrt {10} }}{{\sqrt 2 }}\\I{H_2} = \frac{{1 + \sqrt {10} }}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\).

Mà \(I{H_1} < I{H_2}\)\( \Rightarrow M{N_{\min }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \equiv {H_1}\\N \equiv E\end{array} \right.\).

Khi đó \(\min P = E{H_1} = I{H_1} – IE = \frac{{ – 1 + \sqrt {10} }}{{\sqrt 2 }} – 1 = \frac{{ – 1 + \sqrt {10}  – \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}\)\( = \frac{{2\sqrt 5  – \sqrt 2  – 2}}{2}\).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức

Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Cực trị Số phức Tag với:MAX - MIN SO PHUC, so phuc vdc, TN THPT 2022

Bài liên quan:

  1. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0\,;\,5} \right]\) và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(\sqrt {3x} + \sqrt {10 – 2x} = m\sqrt {f\left( x \right)} \) có nghiệm trên đoạn \(\left[ {0\,;\,5} \right]\)?
  2. Đề toán 2022 [2H3-3.3-4] Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {4\,;\,1\,;\,2} \right)\) bán kính bằng 2. Gọi \(M,N\) là hai điểm lần lượt thuộc hai trục \(Ox,Oy\) sao cho đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OIMN\) có bán kính bằng \(\frac{7}{2}\). Gọi \(A\) là tiếp điểm của \(MN\) và \(\left( S \right)\), giá trị của \(AM.AN\) bằng.

  3. Đề toán 2022 Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\) tâm \(I(9;3;1)\) bán kính bằng 3. Gọi \(M\), \(N\) là hai điểm lần lượt thuộc hai trục \(Ox\), \(Oz\) sao cho đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với \((S)\),đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OIMN\) có bán kính bằng \(\frac{{13}}{2}\). Gọi \(A\) là tiếp điểm của \(MN\) và \((S)\), giá trị \(AM.AN\) bằng

  4. Đề toán 2022 Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;4;2} \right)\), bán kính bằng 2. Gọi \(M,N\) là hai điểm lần lượt thuộc hai trục \(Ox,Oy\) sao cho đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OIMN\) có bán kính bằng \(\frac{7}{2}\). Gọi \(A\) là tiếp điểm của \(MN\) và \(\left( S \right)\), giá trị \(AM.AN\) bằng

  5. Đề toán 2022 [2D1-2.7-4] Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(a\) để hàm số \(y = \left| {{x^4} + 2a{x^2} + 8x} \right|\) có đúng ba điểm cực trị.

  6. Đề toán 2022 [ Mức độ 4] Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;\,3;\,9} \right)\) bán kính bằng \(3\). Gọi \(M\), \(N\) là hai điểm lần lượt thuộc hai trục \(Ox\), \(Oz\) sao cho đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OIMN\) có bán kính bằng \(\frac{{13}}{2}\). Gọi \(A\) là tiếp điểm của \(MN\) và \(\left( S \right)\), giá trị \(AM.AN\) bằng

  7. Đề toán 2022 Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\). Biết rằng hàm số \(g\left( x \right) = \ln f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f’\left( x \right)\) và \(y = g’\left( x \right)\) thuộc khoảng nào dưới đây?

  8. Đề toán 2022 [2D3-3.1-4] Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\). Biết rằng hàm số \(g\left( x \right) = \ln f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f’\left( x \right)\) và \(y = g’\left( x \right)\) thuộc khoảng nào dưới đây?

  9. Đề toán 2022 [Mức độ 3] Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\). Biết rằng hàm số \(g\left( x \right) = \ln f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

    Chart

Description automatically generated

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f’\left( x \right)\) và \(y = g’\left( x \right)\) thuộc khoảng nào dưới đây?

  10. Đề toán 2022  [Mức độ 4] Cho các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = n,\left| {{z_3}} \right| = m\) và \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = k{z_1}{z_2}\,\left( {n > 0,m > 0,k > 0} \right)\). Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của \({z_1},{z_2},{z_3}\) trên mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích tam giác ABC theo \(m,n,k\)

  11. Đề toán 2022  [Mức độ 4] Cho các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\left| {{z_3}} \right| = 2\) và \(8\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 3{z_1}{z_2}\). Gọi \(A,\,B,\,C\) lần lượt là các điểm biểu diễn của \({z_1},{z_2},{z_3}\) trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác \(ABC\) bằng 

  12. Đề toán 2022 [2D4-2.5-4] Cho các số \({z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\left| {{z_3}} \right| = 2\) và \(3{z_1}{z_2} = 4{z_3}\left( {{z_1} + {z_2}} \right)\). Gọi

    \(A,\,B,\,C\) lần lượt là các điểm biểu diễn của \({z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3}\) trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác  \(ABC\)  bằng 

  13. Đề toán 2022 [2D4-2.3-3] Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z^2}} \right| = \left| {z – \overline z } \right|\) và \(\left| {\left( {z + 2} \right)\left( {\overline z  + 2i} \right)} \right| = {\left| {z – 2i} \right|^2}\)?

  14. Đề toán 2022 [Mức độ 3] Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z^2}} \right| = 2\left| {z – \overline z } \right|\) và \(\left| {\left( {z – 4} \right)\left( {\overline z  – 4i} \right)} \right| = {\left| {z + 4i} \right|^2}\)?

  15. Đề toán 2022 Có bao nhiêu số phức \(z\)thỏa \(\left| {{z^2}} \right| = 2\left| {z – \overline z } \right|\) và \(\left| {\left( {z + 4} \right)\left( {\overline z  + 4i} \right)} \right| = {\left| {z – 4i} \right|^2}\).

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.