adsense
Câu hỏi:
Cho các số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 4,\,\,\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\). Gọi \({A_1},\,\,{A_2}\) lần lượt là điểm biểu diễn của \({z_1},\,\,{z_2}\). Khi \(\left| {{z_1}.\,{z_2}} \right|\) đạt giá trị lớn nhất thì diện tích của tam giác \(O{A_1}{A_2}\) bằng bao nhiêu?
A. \(\sqrt 7 \).
B. \(2\sqrt 2 \).
C. \(2\sqrt 3 \).
D. \(4\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\) với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là các số thực.
Do \(\left\{ \begin{array}{l}{\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} – {z_2}} \right|^2} = \left[ {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {a – c} \right)}^2} + {{\left( {b – d} \right)}^2}} \right]\, = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)\\\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\end{array} \right.\)
nên \({\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2}\, = {\left| {{z_1}} \right|^2} + 2{\left| {{z_2}} \right|^2}\), tức là \({\left| {{z_1}} \right|^2} + 2{\left| {{z_2}} \right|^2} = 16\).
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực không âm \({\left| {{z_1}} \right|^2},\,\,2{\left| {{z_2}} \right|^2}\) ta có:\(16 = {\left| {{z_1}} \right|^2} + 2{\left| {{z_2}} \right|^2} \ge 2\sqrt 2 \left| {{z_1}.{z_2}} \right|\), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {{z_1}} \right| = 2\sqrt 2 \) và \(\left| {{z_2}} \right| = 2\).
Tức là \({\rm{Max}}\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = 4\sqrt 2 \) khi và chỉ khi \(\left| {{z_1}} \right| = 2\sqrt 2 \) và \(\left| {{z_2}} \right| = 2\).
Cho các số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 4,\,\,\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\). Gọi \({A_1},\,\,{A_2}\) lần lượt là điểm biểu diễn của \({z_1},\,\,{z_2}\). Khi \(\left| {{z_1}.\,{z_2}} \right|\) đạt giá trị lớn nhất thì diện tích của tam giác \(O{A_1}{A_2}\) bằng bao nhiêu?
Đăng ngày: Biên tập: Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Cực trị Số phức, Trắc nghiệm Số phức
Trả lời