Cho các số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 4,\,\,\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\). Gọi \({A_1},\,\,{A_2}\) lần lượt là điểm biểu diễn của \({z_1},\,\,{z_2}\). Khi \(\left| {{z_1}.\,{z_2}} \right|\) đạt giá trị lớn nhất thì diện tích của tam giác \(O{A_1}{A_2}\) bằng bao nhiêu?

Câu hỏi: Cho các số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 4,\,\,\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\). Gọi \({A_1},\,\,{A_2}\) lần lượt là điểm biểu diễn của \({z_1},\,\,{z_2}\). Khi \(\left| {{z_1}.\,{z_2}} \right|\) đạt giá trị lớn nhất thì diện tích của tam giác \(O{A_1}{A_2}\) bằng bao nhiêu? A. \(\sqrt 7 \).  B. \(2\sqrt 2 \).  C. \(2\sqrt 3 \).  D. \(4\). LỜI GIẢI CHI TIẾT Giả sử \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\) với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là các số thực. Do \(\left\{ \begin{array}{l}{\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} – {z_2}} \right|^2} = \left[ {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {a – c} \right)}^2} + {{\left( {b – d} \right)}^2}} \right]\, = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)\\\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\end{array} \right.\) nên \({\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2}\, = {\left| {{z_1}} \right|^2} + 2{\left| {{z_2}} \right|^2}\), tức là \({\left| {{z_1}} \right|^2} + 2{\left| {{z_2}} \right|^2} = 16\). Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực không âm \({\left| {{z_1}} \right|^2},\,\,2{\left| {{z_2}} \right|^2}\) ta có:\(16 = {\left| {{z_1}} \right|^2} + 2{\left| {{z_2}} \right|^2} \ge 2\sqrt 2 \left| {{z_1}.{z_2}} \right|\), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {{z_1}} \right| = 2\sqrt 2 \) và \(\left| {{z_2}} \right| = 2\). Tức là \({\rm{Max}}\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = 4\sqrt 2 \) khi và chỉ khi \(\left| {{z_1}} \right| = 2\sqrt 2 \) và \(\left| {{z_2}} \right| = 2\).

Đến đây, khi xét trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) ta có \(O{A_1}{A_2}\) là tam giác cân ở \({A_1}\), \(O{A_1} = 2\sqrt 2 \), \(O{A_2} = 2\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \({A_1}\) trên \(O{A_2}\) ta được \({A_1}H = \sqrt 7 \). Vậy diện tích của tam giác \(O{A_1}{A_2}\) là \(S = \frac{1}{2}.{A_1}H.O{A_2} = \frac{1}{2}.\sqrt 7 .2 = \sqrt 7 \) (đơn vị diện tích). ======= Lý thuyết KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)). Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\) Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ. Độ dài của vectơ OM  là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\) Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)

Một số tính chất cần lưu ý của số phức

Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\) Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0). Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo. Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức. Ta có: ​\(\left| \right| = \left| z \right|\). \(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực. \(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.